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Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – P2 - 2017

Q11. Seja V ume espaço vetorial de dimensão maior ou igual a 2 munido de um produto interno ⋅ , ⋅ e denote por ⋅ a norma correspondente. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA:

a) para quaisquer v ,   w ∈ V , se v + w e v - w forem ortogonais, então v = w ;

b) para quaisquer v , w ∈ V , se v - w for ortogonal a v e se v e w forem linearmente dependentes, então v = w ou v = 0 ;

c) para quaisquer v , w ∈ V , se v e w forem ortogonais e v = w , então v + w = 2 v ;

d) para quaisquer λ ∈ R e v ∈ V , se λ v = 0 , então λ = 0 ou v = 0 ;

e) para quaisquer v ,   w ∈ V , se v ≠ 0 , w ≠ 0 e v e w forem ortogonais, então v e w serão linearmente independentes.

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos ter que encontrar qual é a alternativa falsa com os conceitos de ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Todas estão certinhas, menos a letra b.

Repara que se v = 0 , vamos ficar com - w ortogonal a v , maaaas pra isso acontecer v e w deveriam ser linearmente independentes.

Resposta

Letra b.

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6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
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Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
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