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Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Exercício 1212345678910111314151617181920212223

Enunciado

Seja B = ( i → ,   j → ,   k → ) uma base ortonormal. Sejam u → = 1 ,   1 ,   0 B e v → = 0 ,   1 ,   0 B . Considere os vetores v 1 → , versor de u → , v 2 → versor de v → - P r o j u → v → e v 3 → = v 1 → ∧ v 2 → . Mostre que a sequência ( v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → ) é uma base ortonormal.

(Lembre que o versor de um vetor x → é um vetor unitário com mesma direção e sentido que x → ).

Passo 1

Vamos pensar, o exercício nos deu 3 vetores e quer que a gente prove que eles são uma base ortonormal, ou seja, eles devem ser ortogonais entre si e ter módulo 1.

Primeiro vamos ver a ortogonalidade beleza?

Seja um vetor w → e um vetor z → . Pela definição de projeção ortogonal, a gente sabe que w → e z → - P r o j w → z → são ortogonais, olha:

Sacou??

Então analogamente a isso, a gente sabe que u → e v → - P r o j u v → são ortogonais, logo v 1 → e v 2 → (que são seus versores) são ortogonais :P

Ta mas e v 3 → ?

Ele é o produto vetorial de v 1 → com v 2 → , e a gente sabe que o produto vetorial sempre vai ser um terceiro vetor ortogonal aos outros 2 né? Então fechouuu, já sabemos que v 1 → , v 2 → e v 3 → são ortogonais entre si!!

Passo 2

Agora vamos ver se esses vetores são unitários.

Olha, a gente sabe que v 1 → e v 2 → são versores, então pela definição de versor já temos que eles são unitários!!

O módulo de v 3 → , pela definição de produto vetorial, é dado assim:

v 3 → = v 1 → ∧ v 2 → = v 1 → . v 2 → . s e n θ

v 3 → = 1 . 1 . s e n 90 °

v 3 → = 1

Aeee então v 3 → também é unitário!!

Logo, a sequência ( v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → ) é formada por vetores ortogonais entre si e unitários, portanto é uma base ortonormal :)

Resposta

Demonstração.

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