UFES, Álgebra Linear, P3 Tarde, 2017.2 - Questão 2b
Seja um subespaço de formado pelos vetores tais que
b) Determine uma base ortonormal para
Passo 1
E aííí gente, vamos pra mais uma de álgebrazinha :P
Antes de qualquer coisa:
Temos um subespaço formado por vetores , mas esses vetores cumprem com a condição de que
Ou seja:
Opa, então já sabemos que os vetores desse subespaço podem ser escritos assim:
Ou seja, o subespaço é gerado pelos vetores:
Passo 2
Os vetores que encontramos no passo 1 formam a base do subespaço :
E aí nesse item, queremos encontrar uma base pro complemento ortogonal de , ou seja, uma base de
Depois de encontrarmos essa base, vamos ortonormalizar ela ok?
Primeiramente, para encontrarmos a base de vamos lembrar que seus elementos devem ser ortogonais aos elementos da base
Ou seja: um vetor de deve ter o produto interno igual a com os elementos da base , bora lá!
Passo 3
Vamos chamar de um vetor de , queremos que esse vetor seja ortogonal aos elementos da base , ou seja:
Desenvolvendo a equação , temos
E desenvolvendo a equação 2, temos
Logo, um vetor de pode ser escrito assim:
Logo, uma base para é
Detalhe importante: a soma da dimensão de com a dimensão do seu complemento ortogonal, sempre deve dar o tamanho da dimensão que estamos trabalhando, no caso, o
Repara que faz sentido: tem dimensão 2 enquanto tem dimensão 1
Passo 4
Beleza, encontramos a base do complemento ortogonal:
Mas aí ele pede uma base ortonormal!!
Como só temos um vetor na base, não precisamos nos preocupar com a ortogonalidade, mas vamos ter que normalizar esse vetor
Pra normalizar, basta dividirmos ele pelo seu próprio módulo:
Portanto, uma base ortonormal para é
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