UFRJ, Sem Campus, Física 3, Listas de Física 3 - UFRJ - Lista 1 - Carga Elétrica e Campo Elétrico, Questão 7b
Uma barra isolante e fina de comprimento 2a é posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas, de modo que suas extremidades estão em . Ela possui uma carga total Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento. Uma segunda barra, idêntica à primeira e com a mesma carga total Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento, é posicionada sobre o eixo X com suas extremidades em . Determine a força elétrica (módulo, direção e sentido) que a primeira barra exerce sobre a segunda. Sugestão: Divida a segunda barra em elementos infinitesimais de carga e considere a interação entre estes elementos e a primeira barra.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente determinar a força total sobre uma segunda barra carregada (chamaremos de barra B) posicionada ao longo de um eixo na presença de uma primeira barra carregada (chamaremos de barra A). Bem, a gente sabe que, dado um campo elétrico E, uma carga puntiforme sente uma força na presença desse campo dada por
Mas uma barra não é uma carga puntiforme, não é mesmo? É verdade, mas a gente pode dividir a barra B em infinitésimos e considerar esses pequenos elementos de carga como puntiformes e utilizar a superposição de forças para encontrar a força total, já que, a força total sobre o corpo é a soma das forças em cada elemento
No caso de uma barra contínua, teremos uma integral ao invés de uma soma discreta. Mas antes disso, para calcular a força sobre a barra B, precisamos calcular o campo elétrico gerado pela barra A nas posições ocupadas pelos elementos da barra B. Então vamos lá calcular o campo elétrico!
Passo 2
O módulo do campo elétrico de uma carga puntiforme Q é dado por
Onde, é a permissividade elétrica no vácuo e r é a distância entre a carga geradora do campo e o ponto onde queremos calcular o campo. Como a barra A possui uma densidade de carga uniforme, temos que um pequeno elemento de barra possui um infinitésimo de carga equivalente à
Onde é a densidade linear de carga e dx é um infinitésimo do comprimento da barra. Como estamos interessados em calcular o campo elétrico em pontos sobre o eixo X, limitarmos nossa análise a ele. Assim, o campo elétrico gerado numa posição x por um elemento de carga da barra A posicionado em x’ é dado por
Assim, o módulo do campo elétrico será a soma das contribuições infinitesimais da barra A. Para calcular isso, integramos a expressão acima de -a até a, que é o comprimento do barra:
Então, o módulo do campo elétrico em um ponto sobre o eixo horizontal a uma distância x da origem é dado por
Como o campo elétrico tem a direção do vetor separação entre o elemento carregado e o ponto onde o campo é calculado e, como todos os elementos estão sobre o eixo x, bem como o ponto onde calculamos o campo, temos que sua direção é ao longo do eixo x.
Agora, com uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo x, podemos calcular a força na barra B! Então bora lá!
Passo 3
A força exercida sobre uma carga puntiforme é simplesmente o produto da carga pelo campo elétrico em sua posição. Dividindo a barra b em infinitésimos dQ, semelhantemente ao que fizemos com a barra A para calcular o campo elétrico, obtemos que um infinitésimo de força sobre esse elemento de carga é
Então, a força total sobre a barra B será a soma sobre todos os elementos ao longo de seu comprimento no seu posicionamento: de b-a até b+a, como informado pelo enunciado. Então, a força total é
Assim, o módulo da força sobre a barra B é igual à:
Como a força tem a mesma direção do campo elétrico que, sobre todos os pontos da barra B, aponta na direção x, temos que a força que atua na barra B aponta no sentido positivo de x, pois no numerador é maior que no denominador, o que implica que a razão é maior que 1 e, com isso, o logaritmo é positivo. Isso indica que as barras estão se repelindo, como esperado, visto que são idênticas e, portanto, possuem a mesma carga!