Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Uniforme

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Enunciado

Uma linha isolante de cargas tem a forma de um semicírculo de raio R , como indicado na figura abaixo. Sua densidade linear de carga é dada por λ θ =   λ 0 sin ⁡ θ , onde λ 0 é uma constante positiva e θ é o ângulo polar medido a partir do eixo X .

(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do semicírculo.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o vetor campo elétrico no centro do semicírculo, ou seja, o campo elétrico E no ponto z :

Para isso, primeiro temos que analisar o comportamento dos elementos infinitesimais que compõem a linha. Veja a figura abaixo

Perceba que sempre haverá um componente simétrico de d q e, portanto, de d E .

Dessa forma, se arrastarmos d q em torno da linha, veremos apenas um campo E → resultante apontando para baixo.

Assim, podemos ignorar as componentes horizontais da linha de cargas e trabalhar apenas com as componentes verticais de tal forma que:

d E y = d E sin ⁡ θ

E aí? Bora lá desenvolver??!!

😉

Passo 2

Assim, sabemos que o diferencial de campo elétrico é dado por:

d E = k d q R 2

Onde d q = λ 0 sin ⁡ θ R   d θ . Portanto:

d E = R k λ 0 sin ⁡ θ R 2 d θ ∴

d E = k λ 0 sin ⁡ θ R   d θ

Assim, aplicando em d E y , temos:

d E y = k λ 0 sin 2 ⁡ θ R   d θ

Integrando no semicírculo, temos:

E y = ∫ 0 π k λ 0 sin 2 ⁡ θ R   d θ ∴

E y = k λ 0 R ∫ 0 π sin 2 ⁡ θ   d θ ∴

Utilizando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 , temos:

E y = k λ 0 R ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2   d θ ∴

E y = k λ 0 R ∫ 0 π 1 2   d θ - ∫ 0 π cos ⁡ 2 θ 2   d θ ∴

E y = k λ 0 R 1 2 π - 0 ∴

E y = k π λ 0 2 R

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

E y = k π λ 0 2 R

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