UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Eletromagnetismo, Listas de Eletromagnetismo - UFMG - Lista de Fundamentos de Eletromagnetismo, Questão 1.5
Considere uma casca esférica com raio interno e raio externo , carregada uniformemente com densidade de carga , onde é uma constante e é a distância ao centro.
Calcule o módulo do campo elétrico para:
Passo 1
Faaaaaala pessoal, tudo certinho por aí?
Nessa questão temos uma casca esférica de raio interno e externo . Essa casca está carregada com uma densidade que depende da distância do ponto ao centro da casca esférica:
Queremos calcular o campo elétrico gerado por essa distribuição de cargas em um ponto dentro da parte “oca” da casca esférica, na própria casca esférica, e fora da casca esférica. Beleza?
Pra fazer isso vamos utilizar a Lei de Gauss. Segundo ela:
Um ponto de dificuldade pra aplicá-la vai ser a carga interna. Já que a densidade de cargas depende da distância ao cento, precisaremos montar uma integral pra calcular a carga interna em cada um dos casos.
Passo 2
Vamos começar pelo item , quando temos:
Iremos traçar uma superfície gaussiana esférica de raio . Assim, essa superfície está dentro da parte “oca” da nossa casca esférica.
Pela simetria da distribuição e da superfície gaussiana, podemos dizer que o campo vai depender apenas da distância ao centro da distribuição.
Assim, na Lei de Gauss, podemos considerar constante o campo agindo há uma distância do centro.
A integral dos elementos de área é justamente a área total da esfera gaussiana, ou seja:
Substituindo, temos:
Aí vem a parte mais importante... Quanto vai valer a carga interna??
Como estamos dentro da parte oca, não tem nenhuma carga interna à nossa esfera gaussiana, e dizemos que:
Logo:
Portanto:
Beleza! A primeira parte já foi 😊
Passo 3
Vamos agora para a segunda parte, calcular o campo quando temos:
Ou seja, para os pontos que estão dentro da casca esférica.
A estratégia geral permanece a mesma, vamos traçar uma superfície gaussiana esférica, o campo vai ser constante nessa superfície por causa da simetria. A área da esfera gaussiana também vale e aí chegamos novamente aqui:
Mas, quem vai ser a carga interna nesse caso? Então, precisaremos usar a densidade volumétrica!
Sabemos que em uma pequena casquinha dentro da casca esfera maciça, vale que:
Assim:
Logo:
Vamos integrar de até . Teremos:
Logo:
Substituindo na equação principal da Lei de Gauss:
Portanto:
Show! Morreu mais um item 😊
Passo 4
Por fim, vamos calcular para o caso:
Novamente, traçando a superfície gaussiana esférica chegaremos na seguinte equação:
Precisamos calcular a carga interna. No item anterior, como só estávamos pegando o pedaço da casca esférica de até , escrevemos a integral:
Agora, , então estamos pegando toda a carga da casca esférica. Logo:
Logo:
Substituindo na nossa equação principal, vem que:
Logo:
Prontinho galeraaa! Terminamos!
Curtiram a solução? Responde Aí!