UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Eletromagnetismo, Listas de Eletromagnetismo - UFMG - Lista de Fundamentos de Eletromagnetismo, Questão 1.4a
Um cilindro infinitamente longo e de raio está carregado uniformemente em toda a sua extensão, sendo a densidade volumétrica de carga. Calcule:
O módulo do campo elétrico a uma distância do eixo do cilindro.
Passo 1
E aí gente, tudo bem com vocês?
Nessa questão temos um cilindro maciço infinitamente longo com densidade de carga .
Tipo esse cilindro aí, só que infinitamente longo, e com raio na circunferência da tampa.
Precisamos calcular o módulo do campo elétrico em um ponto que está dentro do cilindro, a uma distância do seu eixo.
Alguma ideia de como fazer isso?
A ideia é usarmos justamente a Lei de Gauss. Segundo ela:
Então, vamos traçar uma superfície gaussiana cilíndrica dentro do nosso cilindro maciço, passando justamente pelos pontos a uma distância do eixo.
Vem comigo que vai ficar mais claro 😊
Passo 2
Imagina que traçamos uma superfície gaussiana cilíndrica dentro do nosso cilindro maciço. Esse cilindro imaginário deverá ter comprimento e raio . Assim, sua superfície lateral está passando justamente nos pontos a uma distância do eixo (que é onde queremos calcular o campo.
Um ponto importante é que, como o cilindro maciço é infinito, devido à simetria existente na horizontal, o campo elétrico terá apenas componentes verticais. Assim, quando formos aplicar a lei de Gauss na superfície gaussiana, as tampas do cilindro de Gauss terão componentes do campo elétrico verticais, e vetores na horizontal. Logo:
Portanto, nos preocuparemos apenas com a superfície lateral. Daí, vamos ter:
Como na superfície lateral todos os pontos estão a uma mesma distância do eixo do cilindro, e o campo só deve depender da distância até o eixo (por causa da simetria), temos que esse campo é constante na nossa integral. Logo:
A integral de nos dá justamente a área lateral do cilindro. Ou seja:
Já quanto à carga interna precisamos pensar um pouco...
Temos que a densidade volumétrica vale . No nosso cilindro gaussiano, temos um volume dado por:
Assim:
Substituindo na equação principal, temos:
Daí:
Portanto:
Uhuuul! Conseguimos calcular o campo a uma distância do eixo do cilindro 😊
Valeu pessoal, até a próxima 😉