Uma linha isolante de cargas tem a forma de um semicírculo de raio R , como indicado na figura abaixo. Sua densidade linear de carga é dada por λ θ =   λ 0 sin ⁡ θ , onde λ 0 é uma constante positiva e θ é o ângulo polar medido a partir do eixo X .

(a) Determine a carga total contida na linha.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a carga total contina na linha de cargas que tem formato de semicírculo de raio R :

Para isso, temos que a carga total Q , primeiro temos que o elemento infinitesimal d q , que é dado por:

d q = λ   d l

Onde λ é a densidade linear de cargas e é dada por λ θ =   λ 0 sin ⁡ θ .

Além disso, d l é o elemento infinitesimal da linha, que é dado por d l = R   d θ .

Agora, temos que substituir esses valores e integrar no semicírculo!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, substituindo os valores, encontramos a seguinte relação:

d q = λ   d l ∴

d q = λ 0 sin ⁡ θ R   d θ

Logo, aplicando a integral no intervalo de 0 a π (que é o intervalo de um semicírculo), temos:

∫ d q = ∫ 0 π λ 0 R sin ⁡ θ   d θ ∴

Q = λ 0 R ∫ 0 π sin ⁡ θ   d θ ∴

Q = λ 0 R cos ⁡ θ 0 π ∴

Q = 2 λ 0 R

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Q = 2 λ 0 R

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