UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Eletromagnetismo, Listas de Eletromagnetismo - UFMG - Lista de Fundamentos de Eletromagnetismo, Questão 1.8a
As duas placas de um capacitor esférico possuem raios e , com . Considerando que há vácuo entre as placas, e que as placas interna e externa possuem cargas e , respectivamente, calcule:
O módulo do campo elétrico a uma distância do centro, para e .
Passo 1
E aí gente bonita do Responde Aí, como é que vocês estão?
Nessa questão temos um capacitor esférico, com casca esférica interna de raio e casca esférica externa com raio . Na superfície da parte interna, temos uma carga e na superfície da parte externa temos uma carga .
Entre as placas há vácuo, então isso significa que a nossa permissividade magnética vale:
Queremos calcular o campo elétrico em três regiões distintas:
- Região interna à placa esférica interna
- Região entre as placas
- Região depois das placas
Massa! A ideia principal pra calcular o campo nessas regiões é usarmos a lei de Gauss:
Vamo simbora!!
Passo 2
Bom, independente de termos , ou , ou ainda , iremos traçar uma superfície Gaussiana esférica. Pela simetria do capacitor esférico, devemos ter o campo elétrico dependendo apenas da distância ao centro da distribuição de cargas.
Assim, traçando uma superfície gaussiana esférica temos que o campo elétrico em toda essa superfície deve ser o mesmo, e então podemos considerá-lo constante e colocá-lo para fora da integral da lei de Gauss:
A integral de todos os elementos de área nos dará a área total da esfera. Além disso, o vetor área é paralelo ao campo elétrico. Assim, teremos:
Muito bom! Agora que chegamos nessa equação, vamos analisar as nossas possibilidades!
- Se estivermos na região :
Então, estamos na região interior à placa esférica interna. Como toda a carga foi pra superfície, a carga nessa região interna vale:
Logo, vamos ter que:
Excelente!
Passo 3
- Se estivermos agora na região entre as duas placas esféricas, ou seja, .
Então, a carga interna corresponde exatamente à carga na placa interna do nosso capacitor. Como falado no enunciado, essa carga vale:
Logo, substituindo na equação que havíamos encontrado anteriormente, vem:
Portanto:
- Se estivermos na região fora do capacitor :
Nessa região, a carga interna corresponde à soma das cargas na placa externa do capacitor e da placa interna. Assim:
Logo, temos:
Prontinho!! Assim finalizamos a nossa questão 😉
Obrigado pela atenção pessoal!!