UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Eletromagnetismo, Listas de Eletromagnetismo - UFMG - Lista de Fundamentos de Eletromagnetismo, Questão 1.4b
Um cilindro infinitamente longo e de raio está carregado uniformemente em toda a sua extensão, sendo a densidade volumétrica de carga. Calcule:
O módulo do campo elétrico a uma distância do eixo do cilindro.
Passo 1
E aí galerinha, tudo na paz?
Nessa questão temos um cilindro maciço infinitamente longo com densidade de carga .
Tipo esse cilindro aí, só que infinitamente longo, e com raio na circunferência da tampa.
Precisamos calcular o módulo do campo elétrico em um ponto que está fora do cilindro, a uma distância do seu eixo.
Alguma ideia de como fazer isso?
A ideia é usarmos justamente a Lei de Gauss. Segundo ela:
Então, vamos traçar uma superfície gaussiana cilíndrica com raio ( que vai passar justamente pelos pontos a uma distância do eixo) com eixo coincidindo com o eixo do nosso cilindro maciço.
Vem comigo que vai ficar mais claro 😊
Passo 2
Imagina que traçamos uma superfície gaussiana cilíndrica com comprimento , raio e com eixo coincidindo com o eixo do cilindro maciço. Assim, sua superfície lateral está passando justamente nos pontos a uma distância do eixo (que é onde queremos calcular o campo).
Um ponto importante é que, como o cilindro maciço é infinito, devido à simetria existente na horizontal, o campo elétrico terá apenas componentes verticais. Assim, quando formos aplicar a lei de Gauss na superfície gaussiana, as tampas do cilindro de Gauss terão componentes do campo elétrico verticais, e vetores na horizontal. Logo:
Portanto, nos preocuparemos apenas com a superfície lateral. Daí, vamos ter:
Como na superfície lateral todos os pontos estão a uma mesma distância do eixo do cilindro, e o campo só deve depender da distância até o eixo (por causa da simetria), temos que esse campo é constante na nossa integral. Logo:
A integral de nos dá justamente a área lateral do cilindro. Ou seja:
Já quanto à carga interna precisamos pensar um pouco...
O nosso cilindro gaussiano é grandão, e envolve todo o cilindro maciço em um comprimento .
Assim, o volume do cilindro maciço que está dentro da superfície gaussiana, vale:
Usando agora a densidade volumétrica de cargas, temos:
Logo:
Então:
Portanto:
Aeeee! Muito bom galera!
Conseguimos calcular o campo elétrico que o cilindro exerce a uma distância do seu eixo 😊
Valeu, até a próxima!!