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Exercícios Resolvidos de Campo Magnético Gerado por uma Bobina

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Enunciado

Halliday - Vol. 3 – 9º edição – Capítulo 29 – Problemas Adicionais – Exercício 90a

(Capítulo 29 – Problemas Adicionais – Exercício 90a) Na figura 29-71, um arranjo conhecido como bobina de Helmholtz é formado por duas bobinas coaxiais circulares de N espiras e raio R , separadas por uma distância s . As duas bobinas conduzem uma corrente i no mesmo sentido. (a) Mostre que a derivada primeira do módulo do campo magnético das bobinas, d B / d x , é zero no ponto médio P para qualquer valor de s . Por que é razoável esperar que isso aconteça, tendo em vista a simetria da situação?

Passo 1

Oiii pessoal, tudo certo? Vamos lá pra mais uma

Queremos mostrar que d B d x = 0 no ponto médio P

O módulo do campo magnético no eixo de uma bobina circular, a uma distância z do centro da bobina, é dado pela seguinte expressão:

B = N μ o i R 2 2 R 2 + z 2 3 2 ,

na qual N é o número de espiras, i é a corrente e R é o raio da bobina.

As duas bobinas têm o mesmo número de espiras, o mesmo raio e conduzem correntes iguais. Os campos produzidos pelas correntes têm o mesmo sentido na região entre as bobinas. Vamos colocar a origem das coordenadas no centro da bobina da esquerda e o eixo x na reta que liga os centros das bobinas.

Para calcular o campo produzido pela bobina da esquerda, fazemos z = x na equação anterior. O ponto escolhido está a uma distância s - x do centro da bobina da direita, na qual s é a distância entre os centros das bobinas.

Para calcular o campo produzido pela bobina da direita nesse ponto, fazendo z = s - x na equação anterior. Isso nos dá um campo total:

B = N μ o i R 2 2 1 R 2 + x 2 3 2 + 1 R 2 + x 2 - 2 s x + s 2 3 2

Passo 2

A derivada do campo em relação a x é:

d B d x = - N μ o i R 2 2 3 x R 2 + x 2 5 2 + 3 ( x - s ) R 2 + x 2 - 2 s x + s 2 5 2

No ponto x = s / 2 (a meio caminho entre as bobinas, o ponto médio), o resultado é:

d B d x s 2 = - N μ o i R 2 2 3 s 2 R 2 + s 2 4 5 2 + 3 s 2 R 2 + s 2 4 - s 2 + s 2 5 2 = 0 ,

independente do valor de s .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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