Calcule o determinante da matriz abaixo:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Uma forma esperta de calcular o determinante de matrizes de dimensão maior que 3 é usando o escalonamento.
Quando temos uma matriz triangular, o determinante dela é o produto dos elementos da diagonal principal. E quando escalonamos uma matriz, obtemos uma matriz triangular superior!
Mas temos que tomar cuidado com algumas coisinhas:
- Quando você troca linhas ou colunas, o sinal do determinante muda;
- Quando você multiplica uma linha por um escalar, o determinante fica multiplicado por esse escalar;
- Se você troca uma linha/coluna pela soma dessa linha/coluna com um múltiplo de uma outra, o determinante não se altera.
Então vamos escalonar essa matriz pra achar o determinante!
Passo 2
Escalonando:
Como essa matriz U é triangular superior:
Mas pra obtermos U, teve uma hora que dividimos uma das linhas da matriz A por 3, então o determinante de A também foi dividido por 3.
Logo:
Resposta
(b)