Calcule o determinante da matriz abaixo:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Uma forma esperta de calcular o determinante de matrizes de dimensão maior que 3 é usando o escalonamento.
Quando temos uma matriz triangular, o determinante dela é o produto dos elementos da diagonal principal. E quando escalonamos uma matriz, obtemos uma matriz triangular superior!
Mas temos que tomar cuidado com algumas coisinhas:
- Quando você troca linhas ou colunas, o sinal do determinante muda;
- Quando você multiplica uma linha por um escalar, o determinante fica multiplicado por esse escalar;
- Se você troca uma linha/coluna pela soma dessa linha/coluna com um múltiplo de uma outra, o determinante não se altera.
Então vamos escalonar essa matriz pra achar o determinante!
Passo 2
Escalonando:
Como essa matriz U é triangular superior:
Mas pra obtermos U, teve uma hora que dividimos uma das linhas da matriz A por 3, então o determinante de A também foi dividido por 3.
Logo:
Resposta
(b)
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Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde) A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n Provar que det A = ∏ 0 ≤ ij ≤ n a j - a i , onde
Mostre qued e t ( A ) = (1)/(2) [[[t r (A)],[t r (A^2)]] [[1],[t r (A)]]] para qualquer matriz A de tamanho 2 xx 2 .
Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se, x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 1 1 = 0
Use o exercício acima para mostrar que, dados números reais x 1x 2x 3 e y 1 , y 2 , y 3 quaisquer, existe um único polinômio f x = a x 2 + b x + c , de grau ≤ 2 , tal que f x 1 = y 1 ,f x 2 = y 2 e f
Seja H : V - V a hometetia H_lambda (v) = lambda v , AA v in V . Calcular det (H)