USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 3
Se
Então
É igual a
Passo 1
Faala pessoal!
Essa questão é sobre propriedades de determinantes. Sabemos que
E o que precisamos fazer é ir manipulando essa matriz até que ela vire isso aqui:
E conforme formos manipulando, precisamos ir lembrando que o determinante da matriz também muda. Vai ser assim olha:
- Quando trocamos linhas/colunas de lugar, o sinal do determinante muda
- Quando multiplicamos uma linha por um escalar, o determinante também é multiplicado por esse escalar
- Quando somamos linhas/colunas, o determinante não muda
Aí vamos mudando a nossa matriz até ela virar a matriz e encontrar o novo determinante, baseado no determinante que já temos, beleza?
Então vamoooos!
Passo 2
Sabemos que
Vamos começar a fazer as mudanças pra transformarmos essa matriz na matriz
Primeiro vamos transpor a matriz. Isso não vai alterar o determinante:
Como a matriz tem os na terceira linha e os na segunda, vamos trocar essas linhas de lugar. Isso vai trocar o sinal do determinante:
Trocando a primeira e a segunda coluna de lugar, o sinal muda novamente:
Multiplicando a primeira coluna por , o sinal do determinante troca:
Passo 3
Legal, por enquanto temos
Estamos cada vez mais próximos da matriz hehehe
Agora vamos fazer a segunda linha virar . Isso não muda o sinal do determinante porque estamos somando linhas
Cara, a gente ta muito perto!! As duas primeiras colunas já estão prontinhas, iguais às da matriz
Agora vamos só ajustar a terceira coluna
Multiplicando a terceira coluna por , o determinante também vai ser multiplicado por :
Agora fazendo a terceira coluna receber , o determinante não muda:
Opa! Agora sim chegamos exatamente na matriz :
E fazendo todas essas relações, encontramos o determinante dela:
Arrasamos muitooooo