UNB – Sem campus - Introdução a Álgebra Linear – Listas – Listas de IAL UnB – Lista 2 – 9a
Calcule o determinante da matriz dada reduzindo à forma escalonada por linhas.
Passo 1
E aí galerinha, tudo tranks? Esse exercício é quase como um final boss, mas não por ser difícil, e sim por exigir vários conhecimentos sobre matrizes; no fim de tudo, ela é bem tranquila e divertida de se fazer. Vamos ver então como resolvemos:
Galera, antes de compreendermos o que é o escalonamento e como conseguimos obter o determinante a partir dele, vamos lembrar um pouco de matrizes triangulares. Vocês lembram as propriedades de uma matriz triangular?
Uma matriz triangular é aquela em que todos os elementos superiores ou inferiores à diagonal principal são zero:
Dessa forma, independentemente da forma que calculemos o determinante, os termos vão ser multiplicados por zero em algum momento e zerar, salve a exceção da diagonal principal. Portanto, o determinante desse tipo de matriz é simplesmente o produto dos termos contidos na diagonal principal da matriz.
Sabendo disso, é aí que entra nosso truque😉
Passo 2
O escalonamento consiste em tornar uma matriz não triangular em triangular, simplesmente multiplicando nossas linhas por constantes e as somando. Vejamos na prática:
i- Podemos transpor a segunda e terceira linha, de forma que a propriedade de matrizes nos garante que o determinante apenas muda de sinal:
ii- Multiplicar a segunda coluna por dois, que nos garante que o determinante será multiplicado por dois:
iii- Somar a segunda coluna com a primeira e substituir no lugar da primeira coluna, o que, segundo as propriedades de matrizes, não altera o determinante:
Pronto! Temos nossa matriz triangular, cujo determinante sabemos que é o produto dos termos na diagonal principal:
Ora, temos então:
Logo, nosso determinante é 15. E é isso gente boa! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você