Exercícios Resolvidos de Função Modular

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Enunciado

Construa o gráfico da função

y = x x 2 + 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

y = x x 2 + 1

E pediu para construir o gráfico! Então precisamos trabalhar em etapas para essa construção: pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, concavidade. E ainda verificar a existência de assíntotas!

Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

y = x x 2 + 1

x 2 + 1 , e não existe valor que faça com que esse denominador seja zero! Então não existem assíntotas verticais

beleza?

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞  

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 1 = ∞ ∞

Vamos aplicar a regra de L’Hopital e avaliar novamente o limite

lim x → + ∞ ⁡ x ' x 2 + 1 ' = lim x → + ∞ ⁡ 1 2 x = 0

Olhando para o + ∞ temos que a função tende à zero, então aqui temos uma assíntota horizontal. Fazendo de forma análoga para x → - ∞ , vamos encontrar 0 novamente, assim para o limite esquerdo também temos uma assíntota horizontal. E qual é essa equação?

y = 0

Então temos a primeira informação do nosso gráfico: y = 0 é assíntota horizontal tanto para o lado direito, quanto para o esquerdo

Bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada y '

y = x x 2 + 1

y ' = x 2 + 1 - 2 x . x x 2 + 1 2 = 1 - x 2 x 2 + 1 2

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

y ' = 0

1 - x 2 x 2 + 1 2 = 0

E igualando a zero temos

1 - x 2 = 0 → x 2 = 1 → x = ± 1

Achamos dois pontos críticos!

x = ± 1

Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

Assim podemos classificar os pontos críticos:

x = - 1 : m í n i m o   l o c a l

x = + 1 : m á x i m o   l o c a l

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( - 1 : 1 )

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 1 ) U ( 1 , + ∞ )

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da y ' ' em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

y ' = 1 - x 2 x 2 + 1 2

E derivar novamente

y ' ' = - 2 x . x 2 + 1 2 - 2 x 2 + 1 . 2 x . ( 1 - x 2 ) x 2 + 1 4

Igualando a zero temos:

- 2 x . x 2 + 1 2 - 2 x 2 + 1 . 2 x . ( 1 - x 2 ) x 2 + 1 4 = 0

E assim temos apenas uma solução:

- 2 x . x 2 + 1 2 - 2 x 2 + 1 . 2 x . ( 1 - x 2 ) = 0

- 2 x x 2 + 1 2 = 4 x x 2 + 1 1 - x 2

- 2 x 3 - 2 x = 4 x - 4 x 3

Organizando os termos temos o seguinte

x 3 - 3 x = 0 → x x 2 - 3 = 0

x = ± 3 ,   0

Esses são nossos pontos de inflexão!

Agora vamos analisar o sinal da derivada segunda em torno desses pontos (basta substituir algum valor de x do intervalo em y ' ' ta bem?)

Assim vemos que a concavidade muda apenas em torno de x = 0 !

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( 0 ; + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ ; 0

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • y = x x 2 + 1
  • y 0 = 0
  • p o n t o s   c r í t i c o s : x = - 1 : m í n i m o   l o c a l ;   x = + 1 : m á x i m o   l o c a l
  • c r e s c e n t e : ( - 1 : 1 ) ; d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 1 ) U ( 1 , + ∞ )
  • p o n t o s   d e   i n f l e x ã o :   x = ± 3 ,   0
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( 0 ; + ∞ )
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ ; 0
  • a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l :   y = 0 ; s e m   a s s í n t o t a   v e r t i c a l  
  • lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 0 =   lim x → 0 - ⁡ f ( x )

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

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