UFSCAR – Cálculo 1 – Simulado 2 – Questão 3
Construa o gráfico da função
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essa função aqui
E pediu para construir o gráfico! Então precisamos trabalhar em etapas para essa construção: pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, concavidade. E ainda verificar a existência de assíntotas!
Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:
- Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
- Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
- Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
- Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
- Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
- Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando
Anota aí!
E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!
Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é
beleza?
Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando , beleza? Vamos começar com
Vamos aplicar a regra de L’Hopital e avaliar novamente o limite
Olhando para o temos que a função tende à zero, então aqui temos uma assíntota horizontal. Fazendo de forma análoga para , vamos encontrar novamente, assim para o limite esquerdo também temos uma assíntota horizontal. E qual é essa equação?
Então temos a primeira informação do nosso gráfico: é assíntota horizontal tanto para o lado direito, quanto para o esquerdo
Bora analisar a derivada primeira?
Passo 3
Agora vamos analisar a derivada
Os pontos críticos são onde a derivada é zero:
E igualando a zero temos
Achamos dois pontos críticos!
Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades
- De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
- Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local
A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que assume
Assim podemos classificar os pontos críticos:
Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!
Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso
E decrescente onde ela é negativa:
Tudo bem até aqui?
Bora para a análise da derivada segunda!
Passo 4
Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!
A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função
- Derivada segunda positiva: função côncava para cima
- Derivada segunda negativa: função côncava para baixo
Beleza?
Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:
E derivar novamente
Igualando a zero temos:
E assim temos apenas uma solução:
Organizando os termos temos o seguinte
Esses são nossos pontos de inflexão!
Agora vamos analisar o sinal da derivada segunda em torno desses pontos (basta substituir algum valor de do intervalo em ta bem?)
Assim vemos que a concavidade muda apenas em torno de !
Em resumo temos
Beleza? Estamos quase lá!
Passo 5
Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!
E nosso gráfico ficou assim:
Ufa terminamos!
E é isso! Espero ter ajudado!
Resposta
