Exercícios Resolvidos de Função Quadrática

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Enunciado

1 - Um ponto P move-se ao longo do gráfico de y = 1 x 2 + 1 de tal modo que sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 5 m / s . Qual a velocidade de y no instante em que x = 10 m ?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos uma partícula P que se move seguindo a equação y = 1 x 2 + 1 . A velocidade em x é constante e igual a 5 m / s e nosso objetivo é obter a velocidade de y quando x = 10 m .

E aí, como fazemos isso? 🤔

Nesse caso temos uma função de y x , ou seja, uma função que depende do espaço e queremos obter um resultado do espaço em razão do tempo ( m / s ) , então temos que relacionar a variação do espaço dada pela equação de y com uma equação do tempo.

Mas que equação que seria essa? 👀

Passo 2

Matematicamente falando, queremos obter a variação do espaço sobre a variação do tempo, ou seja, d y d t .

Porém temos apenas a equação que relaciona o espaço y em com o espaço, d y d x .

Qual equação relaciona x com t ?

Se foi dito que a velocidade em x é constante e igual a 5 m / s , então d x d t = 5

Montando o problema, vamos obter que

d y d t = d y d x · d x d t

Ou seja, aplicamos a regra da cadeia aqui!

Substituindo y por 1 x 2 + 1 e d x d t por 5 m / s

d y d y = v y = d 1 x 2 + 1 d x · 5

Agora precisamos buscar a derivada de 1 x 2 + 1 ...

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, temos

d 1 x 2 + 1 d x = d 1 d x · x 2 + 1 - 1 · d x 2 + 1 d x x 2 + 1 2

d 1 x 2 + 1 d x = 0 · x 2 + 1 - 1 · 2 x x 2 + 1 2

d 1 x 2 + 1 d x = - 2 x x 2 + 1 2

Substituindo em v y

v y = d 1 x 2 + 1 d x · 5 = - 2 x x 2 + 1 2 · 5

Para x = 10 m , temos que

v y = - 2 10 10 2 + 1 2 · 5

v y = - 2 0 101 2 · 5

v y = - 100 101 2   m / s

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

v y = - 100 101 2   m / s

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