Exercícios Resolvidos de Função Quadrática

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Enunciado

13 - O topo de uma escada desliza, por uma parede vertical a uma taxa de 0,15 m / s . No momento em que a base da escada está a 3 m da parede, ela afasta-se da parede à velocidade de 0,2 m / s . Qual o comprimento da escada?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos uma escada de comprimento L que está apoiada na parede e no chão. Em um instante, a taxa de variação da altura do ponto de contato da escada e da parede é de 0,15 m / s , a taxa de variação da escada com o chão é de 0,2 m / s e a distância entra a base da escada e o chão é 3 m .

A partir daí queremos saber qual é o comprimento L da escada.

Tem ideia do que fazer? 🤔

Passo 2

Se chamarmos de x a distância da base da escada até a parede e y a distância do chão até o topo da escada, temos

Assim o sistema parede-chão-escada forma um triangulo retângulo dado por

L 2 = x 2 + y 2

L é um valor constante, mas x e y variam com o tempo, então podemos dizer que são funções do tempo.

Derivando os dois lados em relação a t , temos

d L 2 d t = d x 2 d t + d y 2 d t

Assim, a derivada de L 2 é 0 já que L é uma constante e as derivadas de x e y devem ser obtidas pela regra da cadeia, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

0 = d x 2 d x d x d t + d y 2 d y d y d t

0 = 2 x d x d t + 2 y d y d t

Sabemos que a taxa de variação de x é 0,2 m / s , a taxa de variação de y é - 0,15 m / s e quando x = 3 m , temos

0 = 2 3 0,2 + 2 y - 0,15

y = - 2 · 3 · 0,2 2 · - 0,15

y = 4 m

Dessa forma, com x e y em mãos, substituindo em L 2 = x 2 + y 2 podemos obter L

L = 3 2 + 4 2

L = 5 m

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

L = 5 m

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