P2 de Álgebra Linear 1 da USP - 2017

Considere a reta r de equação

E seja o ponto simétrico ao ponto em relação a r, isto é, o ponto tal que seja ortogonal a r e o ponto médio do segmento PQ esteja em r. Temos que é igual a:

A distância do ponto ao plano

É igual a:

Considere o vetor o plano

E sejam tais que , em que é ortogonal a e é paralelo a . Se , então será igual a:

Considere as retas concorrentes r e s dadas respectivamente pelas equações:

Se for o ponto na interseção de r e s, então será igual a:

Considere um tetraedro T de vértices e suponha que as seguintes condições sejam satisfeitas:

Temos que o volume de T é igual a:

v

v

v

Sejam tais que , e tais que a medida do ângulo entre e seja igual a . Temos que a equação:

Na incógnita real tem duas soluções distintas. A soma dessas duas soluções é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Considere as retas e dadas respectivamente pelas equações:

e

Se for a reta perpendicular comum a e e se for o ponto da intersecção de e , então será igual a:

a) ;

b)

c) ;

d)

e)

Considere o plano dado pela equação:

e seja o ponto simétrico ao ponto em relação a , isto é, o ponto tal que o vetor seja ortogonal a e o ponto médio do segmento esteja em . Temos que é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

A medida da altura do tetraedro de vértices

e

Relativa à base é igual a:

Sejam

e

Bases de e considere o vetor . Denote por a matriz cujas colunas são Se

Então as coordenadas de na base serão:

a)

b) ;

c)

d)

e) ;

Seja o plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e Seja a reta dada pela intersecção de com o plano:

Denote por a projeção ortogonal do ponto sobre o plano , isto é, o ponto de tal que o vetor seja normal a . Temos que a distância do ponto à reta é igual a:

a)

b) ;

c) ;

d) ;

e)

Sejam tais que e tais que a medida do ângulo entre e seja igual a . Temos que é igual a:

a)

b)

c)

d)

e) ;

Considere as retas e dadas respectivamente pelas equações:

e

Temos que e são:

a) concorrentes;

b) reversas e ortogonais;

c) coincidentes;

d) reversas e não ortogonais;

e) paralelas e distintas.

Considere as seguintes afirmações:

para quaisquer , vale que

para quaisquer , vale que:

para qualquer base ortonormal positiva vale que:

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações e são verdadeiras;

b) apenas as afirmações E são verdadeiras;

c) todas as afirmações são verdadeiras;

d) apenas as afirmações e são verdadeiras;

e) apenas a afirmação é verdadeira.

Sejam e retas distintas em . Considere as seguintes afirmações:

A distância entre e será igual a zero, se e somente se, e forem concorrentes;

se e forem paralelas, então para qualquer ponto , valerá que a distância entre e será igual à distância entre e ;

se e forem reversas, então para qualquer ponto , valerá que a distância entre e será igual à distância entre e .

Assinale a alternativa correta:

a) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

b) apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

c) apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

d) apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

e) apenas a afirmação é necessariamente verdadeira.

Considere no espaço um cubo cujos vértices são , em que e são faces desse cubo, como ilustrado na figura abaixo:

Considere também os seguintes sistemas de coordenadas em :

Se for o ponto cujos coordenadas no sistema são , então as coordenadas de no sistema serão:

a)

b)

c)

d)

e)