USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P2 - 2017, Questão 10
Sejam
e
Bases de e considere o vetor . Denote por a matriz cujas colunas são Se
Então as coordenadas de na base serão:
a)
b) ;
c)
d)
e) ;
Passo 1
Fala aí gente, tudo beleza?
Nessa questão temos um probleminha de mudança de base. Nos foram dadas duas bases em :
Além disso, também foi dada a matriz , que basicamente recebe um vetor escrito na base , e o devolve escrito na base .
O problema é que a questão nos deu, na verdade, um vetor escrito em , e quer que a gente encontre esse vetor escrito na base . O vetor no caso é:
Sacaram a dificuldade?
Pra resolver essa questão temos que usar a matriz de transformação de bases . Sabemos que, ela faz o seguinte:
Só que, o que queremos é . Então, podemos multiplicar pela inversa de dos dois lados da equação, e ficamos com:
Prontinho! Nosso problema então se resume a encontrar a matriz inversa, .
Vamos lá!
Passo 2
Como queremos encontrar a matriz inversa de , podemos usar aquele artifício de escrever e a identidade , lado a lado. E, ir fazendo operações com as linhas até fazer aparecer a identidade do lado esquerdo, e do lado direito.
Vem comigo!
Somando a linha na linha, temos:
Multiplicando a linha por , temos:
Multiplicando a linha por e somando-a na linha, vem:
Multiplicando a linha por , temos:
Subtraindo a linha na linha, temos:
Somando a linha na linha, temos:
Multiplicando a linha por e somando na linha, vem:
Olha aí gente!!! Do lado esquerdo temos a matriz identidade, logo do lado direito temos . Ou seja:
Excelente!
Passo 3
Voltando ao que havíamos comentado no passo , vimos que:
Então, pra matar nossa questão precisamos apenas fazer o produto .
Como vimos:
E :
Logo:
Ou sejaa:
Prontinho gente, terminamos!
Vocês curtiram a solução? Responde Aí!
Resposta
Letra b).