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Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Exercício 1212345678910111314151617181920212223242526

Enunciado

USP, P2, 2017, 4

Considere as retas concorrentes r e s dadas respectivamente pelas equações:

r :   x + y - z = 1 2 x + 3 y + z = - 2   ,           s :   x - 1 2 = y + 1 = - 2 z - 2 3

Se P = ( a , b , c ) for o ponto na interseção de r e s, então a + b + c será igual a:

a )   2

b ) - 2

c )   0

d )   1

e ) - 1

Passo 1

Falaaaa, blz?? Bora para mais uma questãozinha dessa prova. Esse problema envolve um ponto de interseção de retas. Existe uma forma mais fácil de lidar com a ideia de ponto e retas, para nos ajudar, consegue pensar em como podemos fazer isso?

Bom, a ideia é transformar as equações do problema em equações parametrizadas, pois fica mais fácil de trabalhar, bora lá?

Olhando para r:

x + y - z = 1 2 x + 3 y + z = - 2

Fazendo z = λ , colocando na primeira equação:

x + y = 1 + λ     ( * )

Somando as duas equações:

3 x + 4 y = - 1

Unindo ambas:

x + y = 1 + λ 3 x + 4 y = - 1

Da primeira, temos x = 1 + λ - y , colocando na segunda:

3 1 + λ - y + 4 y = y + 3 λ + 3 = - 1

y = - 4 - 3 λ

Voltando em (*):

x - 4 - 3 λ = 1 + λ → x = 5 + 4 λ

Logo:

r :   x = 5 + 4 λ y = - 4 - 3 λ z = λ  

Passo 2

Agora vamos fazer o mesmo para s, bora parametrizar:

s :       x - 1   2 = y + 1 = - 2 z - 2 3

Igualando tudo a t, temos:

x - 1 2 = t → x = 2 t + 1

O mesmo para segundo termo

y + 1 = t → y = t - 1

E agora para o terceiro

- 2 z - 2 3 = t   →   - 2 z - 2 = 3 t ∴   z = - 3 t - 2 2

Ou seja, podemos escrever:

s :   x = 1 + 2 t y = - 1 + t z = - 3 t - 2 2

Passo 3

Agora, veja que queremos analisar P ∈ r ∩ s , bora fazer isso?

P = a , b , c = 5 + 4 λ ,   - 4 - 3 λ ,   λ = 1 + 2 t , - 1 + t , - 3 t - 2 2 , dai:

5 + 4 λ = 1 + 2 t - 4 - 3 λ = - 1 + t λ = - 3 t - 2 2

Colocando a última equação na primeira:

5 + 4 λ = 1 + 2 t → 5 + 4 - 3 t - 2 2 = 1 + 2 t  

5 - 6 t - 4 = 1 + 2 t → t = 0

E saindo de λ = - 3 t - 2 2 , chegamos que λ =   - 1  

P = a , b , c = 5 + 4 λ ,   - 4 - 3 λ ,   λ

Substituindo o valor achado:

P = a , b , c = 1 , - 1 , - 1 → a + b + c = - 1

E assim chegamos ao final de outra questão. Essa questão é uma demonstração de como é importante buscar métodos mais fáceis para tratar o problema, nesse caso foi parametrizar as retas. Bora para a próxima???

Resposta

Letra E

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