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Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P2 - 2017, Questão 13

Sejam v → ,   w → ∈ V 3 tais que v → × w → = ( - 3,1 , 2 ) e tais que a medida do ângulo entre v → e w → seja igual a π / 6 . Temos que v → ⋅ w → é igual a:

a) 1 ;

b) 6 ;

c) - 4 ;

d) 11 ;

e) - 9 ;

Passo 1

Ooi gente, tudo certinho por aí?

Essa questão nos traz algumas informações sobre dois vetores, v → e w → . É falado que o ângulo entre os vetores é de π / 6 . E, também é falado que o produto vetorial de v → e w → vale:

v → × w → = ( - 3,1 , 2 )

O objetivo do exercício é determinar quanto vale o produto escalar de v → e w → .

Bom, pra resolver essa questão é importante lembrarmos de uma formula bem conhecida do produto vetorial e do produto escalar:

v → × w → = v → ⋅ w → ⋅ s e n   θ

v → ⋅ w → = v → ⋅ w → ⋅ cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre os vetores.

Assim, vamos usar as informações dadas acerta do produto vetorial para descobrir quanto vale

v → ⋅ w → e em seguida substituímos na expressão para o produto escalar.

Passo 2

Nos foi falado que:

v → × w → = ( - 3,1 , 2 )

Logo:

v → × w → = - 3 2 + 1 2 + 2 2

= 9 + 1 + 2

= 12

Logo:

12 = v → ⋅ w → ⋅ s e n   θ

Mas θ =   π / 6 , assim:

12 =   v → ⋅ w → �� s e n π 6

12 =   v → ⋅ w → ⋅ 1 2

∴ v → ⋅ w → = 2 12  

Muito bom!

Passo 3

Vamos agora substituir o resultado encontrado no passo anterior no produto escalar.

Temos que:

v → ⋅ w → = v → ⋅ w → ⋅ cos ⁡ θ

E, já encontramos que:

v → ⋅ w → = 2 12 θ = π 6

Logo:

v → ⋅ w → = 2 12 ⋅ cos ⁡ π 6

= 2 12 ⋅ 3 2

= 36

Portanto:

v → ⋅ w → = 6

Aeeee! Terminamos!

Espero que vocês tenham curtido a solução 😊

Resposta

Letra b).

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