USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P2 - 2017, Questão 9
Seja o plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e Seja a reta dada pela intersecção de com o plano:
Denote por a projeção ortogonal do ponto sobre o plano , isto é, o ponto de tal que o vetor seja normal a . Temos que a distância do ponto à reta é igual a:
a)
b) ;
c) ;
d) ;
e)
Passo 1
Ooi pessoal, tudo bom?
Nessa questão temos dois planos: e . Eles se intersectam em uma reta , beleza?
Sobre o plano é dito que ele passo por um ponto . A projeção ortogonal desse ponto em , resulta no ponto .
O que a questão nos pede é para calcular a distância entre a reta e o ponto . Sacaram?
Para fazer isso, vamos primeiramente encontrar a equação da reta gerada pela intersecção de e . Depois, buscaremos encontrar quem é o ponto resultante da projeção ortogonal de em . Por fim, calcularemos a distância entre o ponto e a reta .
Bora lá?!
Passo 2
Bom, vamos começar encontrando a equação da reta .
Nos foi falado no enunciado que é o plano que passa por e é paralelo aos vetores e . Isso nos ajuda a encontrar a equação geral do plano. Basta fazermos:
A linha da matriz é apenas a subtração de um ponto genérico pelo ponto .
Já a linha é o vetor , um vetor paralelo ao plano.
E, a linha é o vetor , também um vetor paralelo ao plano.
Resolvendo o determinante, temos:
Portanto, essa é a equação geral do plano .
Já o plano tem a equação geral:
Para encontrar a reta devemos fazer a intersecção dos dois planos. Assim, substituindo , temos:
Excelente! Já encontramos a equação da reta .
Passo 3
Vamos agora encontrar o nosso ponto .
Sabemos que é perpendicular a , então vamos buscar encontrar a equação de para depois calcular sua intersecção com : o ponto .
Algo importante de lembrarmos aqui é que a equação geral do plano:
Já nos dá o vetor normal ao plano:
Assim, para:
Temos que o vetor normal vale:
Como é perpendicular a , ela tem a mesma direção de Além disso, pertence a Assim, podemos escrever a equação de :
Logo, qualquer ponto que pertence a é dado por:
Só que o nosso pontinho , além de pertencer a também pertence a . Substituindo na equação geral de , podemos encontrar :
Então:
Assim:
Excelente!
Passo 4
Agora que já encontramos :
E, também:
Podemos calcular .
Para isso, basta fazermos a projeção ortogonal de uma reta ligando um ponto qualquer de e , sobre a reta .
Vamos chamar um ponto genérico em por:
(Lembrando que o valor da coordenada de em precisar ser , pois está em ).
Assim, tomando a direção da reta que liga e , temos:
Para descobrir basta fazermos:
O Vetor que aparece na fórmula é o vetor direção da reta . Para descobri-lo, podemos fazer:
Então:
Logo, o vetor que expressa a direção de reta é:
Então, fazendo pelo produto vetorial, vamos ter:
Por outro lado:
Logo:
Ufaaa, terminamos! Deu um trabalhinho hein!
Obrigado pela atenção gente 😊
Resposta
Letra b): .