USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P2 - 2017, Questão 7
Sejam tais que , e tais que a medida do ângulo entre e seja igual a . Temos que a equação:
Na incógnita real tem duas soluções distintas. A soma dessas duas soluções é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Eaí galerinha, tudo na paz?
Nessa questão temos dois vetores e , cujos módulos valem:
E cujo ângulo entre vetores vale . Daí, também é falado que:
Massa! Com essas informações o enunciado nos pede descobrir quanto vale a soma das soluções para na equação acima. Tranquilo?!
Então gente, o essencial aqui é conseguir manipular essa equação. Para isso, precisamos lembrar de uma propriedade muito importante dos produtos vetoriais:
Vamos buscar aplicar isso na equação dada, e depois usar também que:
Onde é o ângulo entre os vetores e .
Show? Vamo simbora!
Passo 2
Bom, como comentamos, devemos usar a propriedade:
Na equação:
Para isso, vamos chamar:
Assim, reescrevendo a equação:
Perfeito! Agora está mais fácil de aplicar a propriedade. Teremos que:
Show, vamos tirar o da jogada substituindo por :
Aplicando novamente a propriedade, temos:
Excelente!
Passo 3
No passo anterior chegamos que:
Agora, podemos usar que:
Por essa equação, se temos um produto vetorial entre vetores paralelos, tipo:
Como eles são paralelos, o ângulo entre eles é zero. Assim,
O mesmo raciocínio vale para:
Substituindo esses resultados de volta na nossa expressão, chegamos que:
Perfeito! Podemos usar ainda que:
Assim:
Portanto:
E, como falamos, tudo isso é igual a . Logo:
Daí, temos duas possibilidades:
Desenvolvendo a primeira, vem que:
Desenvolvendo a segunda, vem que:
Perfeito!
Como o enunciado nos pede a soma das duas soluções, temos:
E, é isso gente! Dá letra a).
Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😊
Resposta
Letra a).