USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P2 - 2017, Questão 6
Considere as retas e dadas respectivamente pelas equações:
e
Se for a reta perpendicular comum a e e se for o ponto da intersecção de e , então será igual a:
a) ;
b)
c) ;
d)
e)
Passo 1
Faaaala pessoal, tudo tranquilo com vocês?
Nessa questão temos duas retas e , dadas por:
E, é traçada uma reta perpendicular a essas duas. Daí, o enunciado diz que o ponto de intersecção entre e é , e ele quer saber quanto vale . Beleza?
Pois então, pra responder esse exercício precisamos primeiro calcular o ponto de intersecção entre e . Para isso, podemos determinar uma expressão para a reta (usando que ela é formada por um ponto em e outro em ).
E, em seguida usamos que como , vale que o produto escalar dos vetores direção de e é nulo:
Show?! Então, vamo lá!
Passo 2
Pra começar, vamos buscar determinar a equação de .
Sabemos que um dos pontos de pertence a . É justamente o ponto que o enunciado nos pede para descobrir.
Mas, como a equação de vale:
Temos que é da forma:
Massa! Então esse é o primeiro ponto de .
Pensando agora em , ela também tem intersecção com . Vamos chamar esse ponto em comum de . Para escrevermos de forma semelhante ao que fizemos com , precisamos mexer um pouco na nossa equação da reta :
Vamos dizer que tudo isso é igual à , assim:
Isolando e , temos:
Ou seja, qualquer ponto que pertence a , pode ser representado como:
Perfeito! Então, podemos dizer que:
Assim, a direção da reta , pode ser representada por uma reta que liga dois de seus pontos. Ou seja, . Assim:
Excelente gente! Já descobrimos a direção de , agora é só aplicarmos o produto escalar.
Passo 3
Como havíamos falado no passo dado que é perpendicular a , o produto escalar dos vetores direção de e é nulo.
Massa!
A reta é dada por:
Assim, o seu vetor direção será dado por:
Fazendo o produto escalar com ( que representa a direção de ), temos:
Logo:
Mas, como vimos:
Portanto, a soma das coordenadas do ponto vale:
Prontinho! Matamos mais uma questão 😉
Obrigado pela atenção gente.
Resposta
Letra c)