USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P2 - 2017, Questão 8
Considere o plano dado pela equação:
e seja o ponto simétrico ao ponto em relação a , isto é, o ponto tal que o vetor seja ortogonal a e o ponto médio do segmento esteja em . Temos que é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Eaí gente, tudo de boa?
Nessa questão temos um plano , e dois pontos: e .
Queremos justamente descobrir quem é , e fazer para encontrar uma alternativa.
Sobre esses dois pontos é falado que é ortogonal a e que e são simétricos em relação ao plano. Tranquilo?
Mas e aí, por onde começamos?
Então gente, um caminho legal é começar calculando o nosso vetor normal ao plano, para assim descobrir a equação da reta . Após descobrir a equação da reta, podemos usar o fato de estar em , como também a simetria, para encontrar .
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar descobrindo quem é o vetor perpendicular ao plano.
Nos foi falado sobre , que:
Podemos dessa informação retirar a equação geral de . Para isso, vamos somar pois os termos e irão se anular. Assim:
Isso é muito bom, pois na equação geral do plano:
Vale que o vetor é justamente o vetor normal ao plano. Assim:
é o vetor normal ao plano .
Perfeito!
Vamos então determinar a equação da reta Para isso, podemos lembrar que a equação de uma reta é dada por:
Onde é um ponto pertencente a reta, e é o vetor direção dela.
No caso de , temos que:
E que, como a reta é normal ao plano, o vetor normal a , , também é o vetor direção da reta. Logo:
Muito bom!
Passo 3
Agora que já encontramos a equação de podemos usar a simetria de e para encontrar .
Sendo o ponto em que também pertence a podemos escrever que:
Logo:
Portanto, nosso trabalho agora se resume a encontrar a
Sabemos que pertence tanto a , como a Da equação de temos:
Então, é do tipo:
Mas, de , temos:
Logo:
Assim:
Logo:
Voltando a:
Temos:
Portanto galerinha:
Letra d)
Prontinho!!
Matamos mais uma questão 😊
Resposta
Letra d):