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Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P2 - 2017, Questão 14

Considere as seguintes afirmações:

I para quaisquer v → ,   w → ,   z → ∈ V 3 , vale que v → × w → ⋅ z → = v → ⋅ w → × z → ;

I I para quaisquer v → ,   w → ,   z → ∈ V 3 , vale que:

v → + w → ,   w → + z → ,   z → + v → = 2 v → ,   w → ,   z → ;

I I I para qualquer base ortonormal positiva vale que:

e → 1 × e → 2 ,   e → 2 × e → 3 ,   e → 3 × e → 1 = 0 .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são verdadeiras;

b) apenas as afirmações ( I ) E ( I I I ) são verdadeiras;

c) todas as afirmações são verdadeiras;

d) apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras;

e) apenas a afirmação ( I ) é verdadeira.

Passo 1

Oi oi oi, como vocês estão?

Aqui temos três afirmações sobre propriedades do produto misto, e precisamos avaliar cada uma delas.

Começando pela afirmação ( I ) , é dito que se temos três vetores quaisquer vale que:

v → × w → ⋅ z → = v → ⋅ w → × z →

Então, no lado esquerdo temos exatamente a definição do produto misto:

v → × w → ⋅ z → = [ v → ,   w → ,   z → ]

Já no lado esquerdo, podemos usar a comutatividade do produto escalar para também cair no produto misto. Assim:

v → ⋅ w → × z → =   w → × z → ⋅ v →

= w → ,   z → ,   v →

Ou seja, em outras palavras o que a afirmação ( I ) está dizendo é que:

v → ,   w → ,   z → = w → ,   z → ,   v →

E, isso é verdade! É justamente a propriedade cíclica do produto misto. Ele independe da ordem circular dos vetores.

Portanto, a afirmação ( I ) é verdadeira.

Show de bola!

Passo 2

Vamos agora para a afirmação ( I I ) . Segundo ela:

v → + w → ,   w → + z → ,   z → + v → = 2 v → ,   w → ,   z →

Para avaliá-la, podemos usar a seguinte propriedade:

v → + w → , w → ,   z → = v → ,   w → ,   z → + w → → ,   w → ,   z →    

Fazendo isso, vamos ter:

v → + w → ,   w → + z → ,   z → + v → =   v → ,   w → + z → ,   z → + v → + w → ,   w → + z → ,   z → + v →

Usando a propriedade mais uma vez, agora em relação a segunda coordenada, teremos:

v → ,   w → + z → ,   z → + v → =   v → ,   w → ,   z → + v → + v → ,   z → ,   z → + v →

w → ,   w → + z → ,   z → + v → =   w → ,   w → ,   z → + v → + w → ,   z → ,   z → + v →

Substituindo esses resultados na expressão principal:

v → + w → ,   w → + z → ,   z → + v → = v → ,   w → ,   z → + v → + v → ,   z → ,   z → + v → + w → ,   w → ,   z → + v → + w → ,   z → ,   z → + v →  

Lembrando que o produto misto envolvendo dois vetores iguais é nulo, o terceiro termo já morre. Daí, fica:

v → + w → ,   w → + z → ,   z → + v → = v → ,   w → ,   z → + v → + v → ,   z → ,   z → + v → + w → ,   z → ,   z → + v →

Usando mais uma vez a propriedade para cada um desses termos, temos:

v → ,   w → ,   z → + v → =   v → ,   w → ,   z → + v → ,   w → ,   v → = v → ,   w → ,   z →   v → ,   z → ,   z → + v → =   v → ,   z → ,   z → + v → ,   z → ,   v → = 0 w → ,   z → ,   z → + v → =   w → ,   z → ,   v → + w → ,   z → ,   z → = w → ,   z → ,   v →

Massa! Substituindo esses resultados na nossa expressão principal, ficamos com:

v → + w → ,   w → + z → ,   z → + v → = v → ,   w → ,   z → + w → ,   z → ,   v →  

Daí, lembrando da propriedade cíclica do produto misto, vem que:

w → ,   z → ,   v → = v → ,   w → ,   z →  

Logo:

v → + w → ,   w → + z → ,   z → + v → = 2 v → ,   w → ,   z →  

Ou seja, a afirmação ( I I ) também é verdadeira.

Passo 3

Por fim, a afirmação ( I I I ) diz que:

e → 1 × e → 2 ,   e → 2 × e → 3 ,   e ��� 3 × e → 1 = 0

onde ( e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 ) é uma base ortonormal positiva.

Massa! Vamos pensar juntos então.

Se ( e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 ) é uma base ortonormal, então:

e → 1 × e → 2 = e → 3 e → 2 × e → 3 = e → 1 e → 3 × e → 1 = e → 2

Logo:

e → 1 × e → 2 ,   e → 2 × e → 3 ,   e → 3 × e → 1 = e → 3 ,   e → 1 ,   e → 2

Daí:

e → 3 ,   e → 1 ,   e → 2 = e → 3 × e → 1 ⋅ e → 2

= e → 2 ⋅ e → 2

= e → 2 2

Como esses são vetores canônicos:

e → 3 ,   e → 1 ,   e → 2 = e → 2 2 = 1

Logo, a afirmação ( I I I ) está falsa.

Então, a resposta é a letra d).

É isso, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Letra d)

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