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Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P2 - 2017, Questão 11

A medida da altura do tetraedro de vértices

A = 1 ,   - 1 ,   2 ,   B = 3,0 , 1 ,   C = ( 0,2 , 1 ) e D = ( 4,1 , 3 )

Relativa à base A B C é igual a:

a ) 19 62

b ) 15 62

c ) 17 8

d ) 17 62

e ) 19 8

Passo 1

Eaí pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão temos um tetraedro composto pelos vértices:

A = 1 ,   - 1 ,   2 ,   B = 3,0 , 1 ,   C = ( 0,2 , 1 ) e D = ( 4,1 , 3 )

E, queremos calcular a altura relativa à base A B C .

Alguém lembra como podemos fazer isso?

Então pessoal, tem uma fórmula que já mata isso pra gente:

h A B C = A B → ,     A C → ,   A D → A B → × A C →

Ou seja, uma razão de produto misto e produto vetorial! Então, vamo lá!

Passo 2

Bora começar com o produto vetorial.

Queremos calcular:

A B → × A C →

Vamos escrever os vetores A B →   e A C → .

A B → = B - A

= 3,0 , 1 - 1 , - 1,2

= 2,1 , - 1

Já para A C → , temos:

A C → = C - A

= 0,2 , 1 - 1 , - 1,2

= ( - 1 ,   3 , - 1 )

Perfeito!

Vamos agora para o produto vetorial:

A B → × A C → = i j k 2 1 - 1 - 1 3 - 1

= - 1 + 3 i + 1 + 2 j + 6 + 1 k

= 2 i + 3 j + 7 k  

Logo:

A B → × A C → = 2 2 + 3 2 + 7 2

= 4 + 9 + 49

= 62

Muito bom! A primeira parte já foi.

Passo 3

Vamos agora para o produto misto. Vamos dar uma revisada antes no que é mesmo o produto misto:

A B → ,   A C → ,   A D → = A B → × A C → ⋅ A D →

Ou seja, é um produto vetorial seguido de um produto escalar.

Vamos escrever o vetor A D → :

A D → = D - A

= 4,1 , 3 - 1 , - 1,2

= 3 ,   2 ,   1

Massa! No passo anterior já calculamos que:

A B → × A C → = ( 2,3 , 7 )

Assim:

A B → ,   A C → ,   A D → = A B → × A C → ⋅ A D →

= 2,3 , 7 ⋅ 3,2 , 1

= 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1

= 19

Logo:

A B → ,   A C → ,   A D → = 19

Assim:

h A B C = A B → ,     A C → ,   A D → A B → × A C →

= 19 62

O que nos dá letra a ) .

É isso gente, matamos mais uma questão. Obrigado pela atenção 😊

Resposta

Letra a ) .

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