P3 de Álgebra Linear 1 da USP - 2017

Assinale a alternativa em que conjunto é um subespaço vetorial do espaço vetorial .

Assinale a alternativa correta:

a) para todo e é o espaço vetorial de todas as funções

b)

c) ;

d) em que denota a transposta de matriz ;

e)

Considere a matriz

e seja o subespaço de definido por:

.

Temos que a dimensão de é igual a:

(a) 2;

(b) 3;

(c) 4;

(d) 1;

(e) 0.

Considere o conjunto

munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por

para todos e todo . Temos que o conjunto , munido dessas operações, é um espaço vetorial e que o conjunto

é um subespaço de . Assinale a alternativa correspondente a uma base do espaço vetorial :

1. ;
3. ;
4. ;
5. .

Seja e considere o sistema linear homogêneo

nas incógnitas reais e . Temos que o subespaço de formado pelo conjunto das soluções desse sistema terá dimensão igual a se, e somente se, for igual a:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Seja . Temos que pertencerá ao subespaço de gerado pelos vetores

se, e somente se, for igual a:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Sejam um espaço vetorial de dimensão e uma base de . Considere as seguintes afirmações:

1. Para todo , o conjunto é linearmente independente;
2. O conjunto é linearmente independente;
3. O conjunto é linearmente independente.

Assinale a alternativa correta:

1. apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;
2. apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
3. apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
4. apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
5. apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira.

Sejam . Temos que os vetores

geram se, e somente se:

1. e ;
2. e ;
3. e ;
4. e ;
5. .

Considere a base

de M2() e seja S o subespaço de M2() definido por:

.

Se x, y ∈ forem tais que ∈ , então x − y será igual a:

(a) 4;

(b) 3;

(c) 10;

(d) −5;

(e) −1.

Seja V um espaço vetorial de dimensão 15 e sejam e subespaços de tais que

e

Considere as seguintes afirmações:

(I)

(II) existe tal que

(III) se , então para quaisquer tais que , vale que o conjunto é linearmente dependente.

Assinale a alternativa correta:

(a) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;

(b) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

(c) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;

(d) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;

(e) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;

Seja o subespaço de () gerado pelas matrizes:

e

Suponha que sejam tais que para qualquer . Pode-se afirmar que:

(

Considere os subespaços e de definidos por:

Assinale a alternativa correta:

a);

b)

c) se não for o polinômio nulo, então terá grau igual a 2;

d) é um subespaço de ;

e) está contido em .

Considere os subespaços e de definidos por:

Temos que a dimensão de é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Seja um espaço vetorial de dimensão finita e maior ou igual a e seja um subconjunto de com três elementos. Considere as seguintes afirmações:

(I) se forem tais que gera , então e serão ambos não nulos;

(II) se forem tais que gera , então e serão linearmente independentes;

(III) se for linearmente independente e for um subespaço de de dimensão 2 tal que , então terá dimensão maior ou igual a .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações I e II são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações I e II necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação I é necessariamente verdadeira;

d) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

e) apenas a afirmação III é necessariamente verdadeira;

Seja o espaço vetorial de todas as funções e seja o subespaço de definido por

em que

para todo . Uma base para é:

a)

b)

c)

d)

e)

Considere os subespaços e de definidos por

e

em que denota a transposta da matriz e denota a soma dos elementos na diagonal principal de . Temos que a dimensão de é igual a:

a) ;

b)

c)

d)

e)

Sejam um espaço vetorial de dimensão finita, e subespaços de e e bases de e , respectivamente. Considere as seguintes afirmações:

o conjunto é uma base de ;

existe uma base de que contém o conjunto

existe uma base de que contém o conjunto .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

d) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

e) apenas a afirmação é necessariamente verdadeira.