USP, Álgebra Linear 1 – P3 – 2017 – Questão 15
Sejam um espaço vetorial de dimensão e uma base de . Considere as seguintes afirmações:
- Para todo , o conjunto é linearmente independente;
- O conjunto é linearmente independente;
- O conjunto é linearmente independente.
Assinale a alternativa correta:
- apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;
- apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
- apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
- apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
- apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira.
Passo 1
Fala aí, gente! Tudo bem?
Aqui nessa questão todas as nossas alternativas falam de “linearmente independente”, o famoso LI. Vamos relembrar rapidinho o que faz com que eu conjunto de vetores seja LI?
Bom, LI é um termo que a gente para dizer que, num conjunto de vetores, a gente não consegue escrever nenhum deles com combinação linear dos demais, só isso!
E uma base, tal como a base do nosso enunciado, é um conjunto:
- LI;
- E qualquer outro vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores de ;
Belezinha?
Passo 2
Passo 3
Agora que recapitulamos os conceitos mais importantes, vamos analisar cada alternativa uma a uma, começando por (I).
A afirmação tá dizendo que, não importa vetor que eu pegue, o conjunto vai ser sempre LI. Será mesmo?
Essas afirmações que dizem que alguma coisa sempre acontece normalmente têm alguma pegadinha que vem da gente fazer alguma consideração espertinha. Nesse caso, é o seguinte: se a gente tomar, por exemplo, , então o conjunto fica:
Ahá! Olha só o que aconteceu: o primeiro vetor do conjunto é o vetor nulo e qualquer conjunto com o vetor nulo é necessariamente LD! Isso porque o vetor nulo sempre é combinação linear de qualquer outro, basta multiplicar por zero hehehe
Então já deu para ver que nada feito com a alternativa (I), né? Ela é falsa!
Passo 4
Dando continuidade, vamos agora à afirmação (II). Como temos um conjunto concreto de vetores aqui, talvez valha a pena aplicarmos diretamente um método qualquer para testar independência linear. Um método possível é colocar os vetores nas linhas de uma matriz e escalonar. Durante o processo, se uma ou mais linhas zerarem, é porque os respectivos vetores eram combinações lineares dos demais!
Mas antes de podermos colocar os vetores numa matriz, vamos escrevê-los na base da nossa questão:
Show! Colocando então em uma matriz:
Multiplicando a primeira linha por e somando com a segunda:
Somando a segunda linha com a terceira:
E veja só! Temos três pivôs, com nenhuma linha nula. Logo, os tais três vetores são mesmo LI e afirmação (II) é verdadeira.
Passo 4
Uma última afirmação, hein? A gente tá quase acabando hahah
Como essa afirmação é beeem parecida com a anterior, vamos aplicar a mesma estratégia, beleza?
Começamos escrevendo os vetores na base da nossa questão:
Agora, colocando todos eles nas linhas de uma matriz, temos:
Multiplicando a primeira linha por e somando com as linhas e , respectivamente:
Por fim, multiplicando a segunda linha por e somando com a terceira:
E tcharam! De novo três pivôs, com nenhuma linha zerada. Ou seja, os vetores são LI mesmo, e a afirmação (III) é verdadeira também, assim como a (II).
Portanto, nossa resposta é a letra (b).
Ufa, acabamos! Que tal irmos juntos para mais uma questão, hein?
Resposta
(b) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;