USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P3 - 2017, Questão 3
Considere os subespaços e de definidos por
e
em que denota a transposta da matriz e denota a soma dos elementos na diagonal principal de . Temos que a dimensão de é igual a:
a) ;
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Eaí pessoal, tudo numa boa?
Essa questão nos dá dois subespaços das matrizes , nos reais.
E:
Precisamos determinar a dimensão de .
Para fazer isso, vamos primeiro analisar melhor quem é cada subespaço e a partir daí analisar a dimensão da intersecção deles.
Passo 2
O subespaço é dado por:
Ou seja, as matrizes que compõem esse subespaço são todas formadas pela subtração de uma matriz com a sua transposta.
Isso nos dá algumas propriedades bem interessantes, vamos analisa-las.
Digamos que é a matriz genérica:
Assim:
Logo, fazendo a operação do subespaço , temos:
Olha que interessante! Todos os elementos da diagonal dessa matriz são nulos. Então, quanto vale o seu traço??
Isso mesmo, o traço dessa matriz é nulo!
Puts, mas quem é mesmo? É o subespaço das matrizes cujo traço é nulo. Entãooo, como qualquer matriz de possui necessariamente , podemos afirmar que contém .
Assim, é justamente igual a . Muito legal né?!
Passo 3
Bom, já descobrimos que:
Assim, avaliar a dimensão de é avaliar a dimensão de .
Além disso, vimos que qualquer matriz pertencente a é do tipo:
Se olharmos direitinho, vemos que essa matriz é antissimétrica, pois os elementos simétricos em relação a diagonal principal são um o negativo do outro.
Vamos então chamar:
Assim, podemos reescrever como:
Vamos abrir um pouco essa matriz:
Olha aí que legal, as matrizes de são determinadas pela combinação linear de:
Logo,
O que nos dá letra a).
É isso gente, espero que vocês tenham curtido a solução 😊
Resposta
Letra a).