USP – Sem Campus – Álgebra Linear - Provas – P3 – 2017 – 9
Seja um espaço vetorial de dimensão finita e maior ou igual a e seja um subconjunto de com três elementos. Considere as seguintes afirmações:
(I) se forem tais que gera , então e serão ambos não nulos;
(II) se forem tais que gera , então e serão linearmente independentes;
(III) se for linearmente independente e for um subespaço de de dimensão 2 tal que , então terá dimensão maior ou igual a .
Assinale a alternativa correta:
a) apenas as afirmações I e II são necessariamente verdadeiras;
b) apenas as afirmações I e II necessariamente verdadeiras;
c) apenas a afirmação I é necessariamente verdadeira;
d) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;
e) apenas a afirmação III é necessariamente verdadeira;
Passo 1
Fala aí gente boa, beleza? Bora pra cima da questão! Show galerinha, logo no começo, ele afirma uma coisa muuuuito importante pra essa questão. Ele nos entrega de bandeja, a dimensão de . Ele fala que:
O que isso quer dizer? Significa que é um espaço vetorial formato por pelo menos, 4 vetores linearmente independentes. Salva essa informação: eles serem linearmente independentes significa que nenhum vetor é combinação linear do outro. Cada um aponta numa direção diferente e dessa forma conseguem gerar cada um, uma dimensão.
Se álgebra linear não expandir a mente de vocês, eu não sei o que vai. Mas enfim, vamos prosseguir!
Passo 2
Então, vamos avaliar essas afirmações. Começando com a (I):
(I) se forem tais que gera , então e serão ambos não nulos;
Deixa eu contar uma coisa legal pra vocês. Nessas questões em que ele afirma coisas pra gente, conseguimos provar que ela é falsa simplesmente dando um exemplo que não se aplica ao que ele fala. Não importa os argumentos que a questão utilize para afirmar algo... se você apresentar uma contra prova, a afirmativa CAI POR TERRA! Então nossa missão aqui vai ser criar uma contra prova pra a afirmação. Então bora lá:
Vamos supor que a . Isso é possível pois a questão afirmou que , certinho? Show. Também vou assumir que o conjunto seja linearmente independente. Estamos assumindo isso, pois quando fazemos a união , estamos gerando um espaço vetorial de dimensões. Se não for L.I, nunca que essa base formada pela união, vai conseguir gerar , porque dessa forma, só representaria de fato dimensão, e quando unirmos com , teríamos só dimensões (e dessa forma NUNCA NUNQUINHA DE FORMA ALGUMA E JAMAIS que essa base formada pela união geraria ).
E olha que coisa legal: como estamos unindo um conjunto com três vetores () com um conjunto com dois vetores (), temos uma base com cinco vetores (,). Ou seja,
Passo 3
Mas pera aí, como uma base com dimensão , gera um espaço vetorial com dimensão ?
Só tem uma saída: Algum desses vetores é combinação linear dos demais. Mas, no passo passado provamos que só poderia ser , ou seja, isso implica que é linearmente dependente, ou . Ou seja, um dos vetores é combinação linear dos demais. Isso algebricamente se traduz em:
Ou,
De qualquer forma, com uma escolha de coeficientes, pode-se anular ou , sem anular o outro. Ou seja, zeramos um, sem zerar o outro. Isso implica em um dos dois casos:
Se ;
Ou, se ;
E olha que daora: nos dois casos, se , os vetores não nulos formam uma base, e, portanto, geram V. E ainda assim fazendo o que a questão afirmou, fizemos isso com pelo menos um vetor nulo. Ou seja, é errado afirmar o que esse item disse pra gente:
se forem tais que gera , então e serão ambos não nulos;
Já que acabamos de fazer uma contra prova, gerando , com uma união de com , e com ou nulos. Logo, esse item é FALSO!
Passo 4
Belezura minha rapaziada, bora continuar. A afirmação II nos diz que:
(II) se forem tais que gera , então e serão linearmente independentes;
Mas pera aí...
A gente acabou de provar justamente o contrário disso no passo passado. Os vetores e tem que ser necessariamente, linearmente DEPENDENTES, se quisermos que a união gere . Portanto, a afirmação II é falsa.
Passo 5
Agora é terminar com essa afirmação III e acabar a questão
(III) se for linearmente independente e for um subespaço de de dimensão 2 tal que , então terá dimensão maior ou igual a .
Oxente, entendi foi nada. Vamos primeiro dar nome aos bois aqui né? Ele nos disse que:
Isso é o mesmo que:
E olha que bacana, sabe como a gente calcula o numero de dimensões dentro de espaço vetoriais? Relaxa que eu te ensino. A dimensão, pode ser calculada como:
Olha quem apareceu aí rapaz... o . E a afirmativa nos disse que essa dimensão da intersecção entre os dois subespaços terá dimensão maior ou igual a 1. Será mesmo? Bora testar!
Passo 6
A questão nos deu os valores de algumas dimensões aí. Primeiro, ele nos deu indiretamente a dimensão de . Primeiro a gente já sabe que a . Também sabemos que a dimensão de assume valor , porque é a união de um conjunto L.I de três elementos, logo com três dimensões, junto com um conjunto que a questão assume que possui valor . Logo:
Como a dimensão de tem que ser maior ou igual a 4:
Ou seja,
Que é justamente o contrário do que a afirmação nos fala, dizendo que é maior ou igual a um, por que na verdade, é menor ou igual a um. Portanto, afirmativa falsa! Isso acarreta que todas as 3 afirmativas são falsas e, portanto, a resposta é o item .
E é isso! WE DID IT!!! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você
Resposta
item .