USP, Álgebra Linear 1 – P3 – 2017 – Questão 13
Seja e considere o sistema linear homogêneo
nas incógnitas reais e . Temos que o subespaço de formado pelo conjunto das soluções desse sistema terá dimensão igual a se, e somente se, for igual a:
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Passo 1
Fala aí, meu povo! Como vocês estão?
Aqui nessa questão nós temos um sistema de equações e incógnitas e o que o enunciado quer é que a gente descubra qual valor de faria com que o conjunto de soluções tivesse dimensão .
Beleza! Mas como proceder? Bom, vamos pensar juntos: quando um sistema de incógnitas tem uma solução de dimensão ?
Boa pergunta! Bom, dimensão quer dizer que uma das incógnitas tem que ser livre e as outras duas têm que ser variáveis dependentes. E a gente consegue isso se o nosso sistema tiver apenas equações! Para ficar mais claro, vamos pegar um exemplo hipotético:
Como são duas equações, em cada uma delas a gente pode isolar uma das variáveis em função das demais, essas duas que nós isolarmos e escrevermos em função ficam como variáveis dependentes. Já a que sobrou fica como variável livre e temos um conjunto de soluções de dimensão 1. Olha só, vamos fazer isso:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na expressão para :
Ou seja, dessas duas equações com três incógnitas, isolando e substituindo nós obtivemos:
Juntas, essas duas condições mostram para gente que o conjunto de soluções é da forma:
Com duas variáveis dependentes e uma livre, a solução tem dimensão . Ficou claro?
Pois bem, mas agora talvez você esteja pensando “Ok, entendi sim, mas o que isso tem a ver com o nosso problema?” E eu te digo: tudo! Porque nós também temos um sistema com incógnitas, mas com equações. Ali em cima eu disse que pra dimensão da solução ser , a gente ia precisar ter só duas equações. Acontece que isso não é bem verdade, o que a gente precisa mesmo é que tenhamos só duas equações LI!!
Isso já deu pra gente a chave pra resolvermos a nossa questão: se pra gente ter o conjunto solução com dimensão precisamos que só duas equações sejam LI, então nossa estratégia vai ser aplicar algum método de teste de independência linear e torcer que daí encontremos alguma condição a ser satisfeita por para que isso aconteça!
Vamos lá então!
Passo 2
O método padrão para testar independência linear (LI) é o escalonamento. Quando uma linha zera durante o processo, é porque ela era LD. Nosso sistema de equações, em forma matricial, fica:
Pegando a matriz de coeficientes, vamos começar fazendo as seguintes operações elementares sobre as linhas:
- Multiplicar a primeira linha por e somar com a segunda;
- Somar a primeira linha com a terceira;
- Somar a primeira linha com a quarta.
Feito isso, obtemos:
Permutando a terceira e quarta linhas, temos:
Por fim, se multiplicarmos a segunda linha por e somarmos com a terceira, temos:
Show! Agora que está na forma escalonada, vejamos o seguinte: a quarta linha já deu toda zero, mas a terceira linha não! Precisamos de só duas equações LI, então precisamos também zerar a linha . Para isso, precisamos que:
E tá pronto! Encontramos nossa resposta, alternativa (d).
Passo 3
Passo 4
Já encontramos nossa resposta, mas só como um bônus, vamos ver como fica nossa matriz para o valor de que encontramos:
As duas primeiras linhas, que são as únicas não nulas, correspondem ao sistema de equações:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
Logo, a solução geral do nosso sistema é da forma:
Notou que essa resposta é a mesma que a do exemplo “hipotético” que eu dei lá em cima para ilustrar a estratégia que iríamos adotar? Já não parece mais tão hipotético assim né hahah
Gostou? 😉 Vamos para mais uma questão!
Resposta
(d) ;