Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais

Ver Teoria
Exercício 301234567891011121314151617181920212223242526272829313233

Enunciado

USP – Sem Campus – Álgebra Linear - Provas – P3 – 2017 – 7

Considere os subespaços S 1 e S 2 de P 4 ( R ) definidos por:

S 1 = t 2 - t , t - 1 }

S 2 = p ϵ P 4 R : p 1 = p - 1 = 0

Assinale a alternativa correta:

a) S 1 = P 2 ( R ) ;

b) S 1 + S 2 = P 4 R ;

c) se p   ϵ   S 1 ∩ S 2 não for o polinômio nulo, então p terá grau igual a 2;

d) P 1 ( R ) é um subespaço de S 1 ∩ S 2 ;

e) S 1 está contido em S 2 .

Passo 1

Opa meu povo, tudo em cima com vocês? Então simbora cair pra cima da questão. Vamo entender o que a questão passa no enunciado? Ele fala pra gente considerar dois subespaços S 1 e S 2 de P 4 ( R ). Pera aí, você sabe o que significa essa notação P 4 ( R ) ? Significa que os dois subespaços pertencem a um espaço vetorial formato pelos polinômios de grau menor ou igual a 4. Ou seja, são todos os polinômios que são de classe:

P t = a t 4 + b t 3 + c t 2 + d t + e

Belezura até aqui? Vamo então pro item a). Ele nos afirma que:

S 1 = P 2 ( R )

Isso significa que: O subconjunto S 1 representa todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. Ou seja:

P 2 t = a t 2 + b t + c

Será se é verdade? Bem, se olharmos para o S 1 , ele é formato por dois vetores:

S 1 = t 2 - t , t - 1  

Ou seja, ele consegue representar todos os polinômios em dois graus de liberdade. Mas aí que tá a pegadinha gente: um polinômio de grau n possui n + 1 graus de liberdade. Quer que eu te prove? Sem problemas. Vamo olhar pro P 2 ( t ) :

P 2 t = a t 2 + b t + c t 0

Nele, os graus de liberdade são definidos pelas constantes que acompanham, que são a , b e c . Portanto, essa alternativa não é a correta. Já que o número de graus de liberdade (ou dimensões) de S 1 é diferente do numero de dimensões que precisamos para escrevermos todos os polinômios de grau menor ou igual a 2.

d i m d i m   S 1   ≠ d i m d i m   P 2 ( R )  

Showzinho? Bora pro próximo item.

Passo 2

Aqui no item b) ele afirma pra gente que:

S 1 + S 2 = P 4 R

Mas e aí? É verdade? Vamo testar. Qual é a primeira condição que a gente precisa pra que essa afirmativa aí seja verdadeira? Isso mesmo, precisamos que: “Um polinômio genérico gerado por S 1 + S 2 corresponda à um polinômio genérico gerado por: P 4 ( R ) .” Assim, vamos gerar um polinômio genérico para os conjuntos e comparar com o polinômio genérico padrão para P 4 ( R ) . Isso algebricamente significa que “a combinação linear de S 1 com S 2 corresponda à um polinômio genérico gerado por P 4 ( R ) ”. Bora traduzir isso em forma de cálculo?

Lembram como calculamos combinação linear de subespaços vetoriais? Uma combinação linear de S 1   com S 2 é dada por uma relação linear das constantes que multiplicam cada vetor que forma os espaços S 1 e S 2 . Ou seja, para S 1 :

S 1 = t 2 - t , t - 1  

Logo adotando as constantes para cada vetor de S 1 :

P 1 t = α t 2 - t + β t - 1   ( 1 )

Para S 2 precisamos ainda definir como ele é escrito em forma de vetores, porque a questão não explicitou isso pra gente. Vem que eu te mostro como a gente faz isso no próximo passo.

Passo 3

Okay, quem é S 2 segundo a questão? Ela nos diz que:

S 2 = {   p   ϵ   P 4   R : p 1 = p - 1 = 0 }

Ou seja, quem diz quem é a cara de S 2 é aquela condição ali:

p 1 = p - 1 = 0

Vamo lá, quem é p ( 1 ) ? p ( 1 ) representa pra gente o polinômio de grau menor ou igual a 4 (porque S 2 pertence ao espaço vetorial de P 4 ( R ) ) com coeficientes ímpares positivos, ou:

P 1 = a + b + c + d + e

Enquanto p ( - 1 ) representa pra gente o polinômio de grau menor ou igual a 4 (porque S 2 pertence ao espaço vetorial de P 4 ( R ) ) com coeficientes ímpares negativos, ou:

P - 1 = a - b + c - d + e

Lembrando que quando a gente fala de coeficientes pares ou ímpares, estamos lidando com o número do expoente de cada variável. No caso:

p t = a t 4 + b t 3 + c t 2 + d t 1 + c t 0

E ainda por cima, ele nos diz que:

p 1 = p - 1 = 0

Ou seja:

P 1 = a + b + c + d + e = 0

P - 1 = a - b + c - d + e = 0

Como isso é verdade, implica que:

b + d = 0

E que:

a + c + e = 0

Substituindo:

b = - d

e = - ( a + c )

Temos que:

P t = a t 4 + b t 3 + c t 2 - b t - a - c

Organizando os termos, obteremos os vetores que definem S 2 . Pois:

P t = a t 4 + b t 3 + c t 2 - b t - a - c

P t = a ( t 4 - 1 ) b ( t 3 - t ) + c ( t 2 - 1 )

Portanto, fica claro que S 2 tem a forma:

S 2 = ( t 4 - 1 ,   t 3 - t ,   t 2 - 1 )

Passo 4

Agora, vamos escrever como vai ficar a combinação linear para S 2 . Semelhantemente a eq (1):

P 1 t = α t 2 - t + β t - 1                     ( 1 )

Temos que:

P 2 t = γ t 4 - 1 + δ t 3 - t + ϵ ( t 2 - 1 )

Portanto, ao escrevermos a combinação linear de S 1 + S 2 :

P s = α t 2 - t + β t - 1 + γ t 4 - 1 + δ t 3 - t + ϵ t 2 - 1           ( 2 )

Organizando isso, isolando cara constante representado pelas letras gregas:

P s ( t ) = γ ⋅ t 4 + δ ⋅ t 3 + α + ε ⋅ t 2 + - α + β - δ t + - β - γ - ε ;

Esse é o polinômio genérico gerado por S 1 + S 2 . Para o polinômio genérico gerado por P 4 ( R ) :

P 4 t = a t 4 + b t 3 + c t 2 + d t + e             ( 3 )

Ao compararmos os dois polinômios (2) e (3):

P s ( t ) = γ ⋅ t 4 + δ ⋅ t 3 + α + ε ⋅ t 2 + - α + β - δ t + - β - γ - ε ;

P 4 t = a t 4 + b t 3 + c t 2 + d t + e            

Conseguimos gerar justamente um sistema linear. Isso porque se P s t = P 4 ( t ) (que é o que queremos provar nesse item), logo:

γ = a

δ = b

α + ε = c

- α + β - δ = d

- β - γ - ε = e

Como as duas primeiras equações que definem γ e δ são triviais, vamos isolar o sistema somente onde precisamos achar os coeficientes:

α + ε = c

- α + β - δ = d

- β - γ - ε = e

Reorganizando:

α + 0 ⋅ β + ε = c

- α + β + 0 ⋅ ε = d + b

0 α - β - ε = e + a

E olha que coisa super interessante: esse sistema se traduz em uma relação matricial, da seguinte forma:

1   0   1   - 1   1   0   0   - 1   - 1   α   β   ε   = c   b + d   a + e  

E aqui chega o ponto crítico da questão. Esse sistema só é possível, se essa matriz dos coeficientes:

1   0   1   - 1   1   0   0   - 1   - 1  

Tiver determinante diferente de 0 . Mas, ao calcularmos o d e t ⁡ ( M ) para nossa matriz:

d e t d e t   M   = 0

Ou seja, o sistema é indeterminado e não possui solução real. Dessa forma, se o sistema não é possível, não podemos afirmar que:

P s t = P 4 ( t )

Já que pra isso ser verdade, dependia diretamente do nosso sistema ser linear, e na verdade ele é indeterminado. Portanto, o item é falso! Com essa eu até suei! hahahahaha. Mas vamos prosseguir.

Passo 5

Indo para a afirmativa c ) :

c) se p   ϵ   S 1 ∩ S 2 não for o polinômio nulo, então p terá grau igual a 2;

Mas será mesmo? Vamo dar uma investigada. Primeiro vamos achar quem é:

S 1 ∩ S 2

Isso se chama intersecção de dois subconjuntos. Ele é formado pelos elementos que são comuns tanto em S 1 como em S 2 .

Portanto, vamos definir quem são os elementos gerados por S 1 . Mas olha que coisa boa, a gente já fez isso no passo 2 e chamamos de eq (1):

P 1 t = α t 2 - t + β t - 1                     ( 1 )

Ou:

P 1 t = α t 2 + β - α t - β

Agora vamos usar essa equação que representa todas as equações de S 1 e vamos adequar no formato de S 2   . Como a questão nos diz que para S 2 :

p 1 = p - 1 = 0

Vamos aplicar essa condição para:

P 1 t = α t 2 + β - α t - β

Semelhantemente ao que fizemos no passo 3:

p 1 s 1 =   α t 2 + β - α t - β = 0

p - 1 s 1 = α t 2 - β - α t - β = 0

Logo,

α = β

Ou seja:

P t =   α t 2 + β - α t - β = 0

Aplicando α = β :

P t =   α t 2 - α

P t = α ( t 2 - 1 )

E como a questão limita a condição para P ( t ) ser um polinômio não nulo, significa que:

P t ≠ 0

O que implica que:

α ≠ 0

Sendo assim portanto, P ( t ) , que é a intersecção de S 1 S 2 (é/gera) um polinômio de grau 2 (pelo t 2 ). Portanto, a alternativa (c) é verdadeira. Apesar da gente ter encontrado a verdadeira, vamos analisar as próximas e ver o que a gente pode aprender por lá.

Passo 6

Vamos então investigar essa afirmação que a questão nos entrega em d ) .

d) P 1 ( R ) é um subespaço de S 1 ∩ S 2 ;

Ele tá falando pra gente que todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 (que é o conjunto constituído pelas retas e pelos números constantes):

P 1 t = γ t 1 + β t 0

São um subespaço da intersecção que encontramos no passo anterior. Como eu provo isso? Ora, vamos igualar esse polinômio genérico dado por P 1 com os polinômios genéricos da intersecção que encontramos no passo 5:

P t = α ( t 2 - 1 )

Logo temos:

γ t + β = α ( t 2 - 1 )  

Isso nos leva a:

α t 2 + 0 t - α = 0 t 2 + γ t + β

Logo, temos o seguinte sistema linear:

α = 0

0 = γ

- α = β

Logo,

α = γ = - β = 0

Ou seja, apenas pra essa condição de: α = γ = - β = 0 é que um polinômio de formato:

P 1 t = γ t + β

Está contido na intersecção. Porque ao aplicarmos a condição no polinômio P 1 ( t ) :

P 1 t = 0 t + 0 = 0

Correspondendo a um elemento 0 que está contido dentro do subespaço vetorial. Mas, é somente nesse caso que o polinômio está contido na intersecção, portanto, o item é falso! Já que não são todos os polinômios P 1 ( t ) que estão contidos na intersecção.

Passo 7

E pra gente finalizar: vamos analisar o item e):

e) S 1 está contido em S 2 .

Vamos ver! Se S 1 está contido em S 2 . Tomaremos um polinômio qualquer de S 1 gerado pela regra:

P 1 t = α t 2 - t + β t - 1   ( 1 )

Por exemplo:

P 1 t = t 2 - t - 1

Para esse caso, ao aplicarmos uma condição de S 2 que é:

p 1 = 0

Dentro de:

P 1 t = t 2 - t - 1

Obtemos:

P 1 t = - 3

Mas,

- 3 = P 1 1 ≠ 0

Portanto, não satisfaz a condição de S 2 , logo, não está contido.

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

item e ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W
5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1
Sejam B = { u 1 → , u 2 → ,u 3 → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear tal que: T B = - 3 4 7 1 0 - 2 0 1 0 Encontre T B ' , sendo B = v 1 → , v 2 → ,v 3 → a base de V defi
Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 A matriz de transição de B ' para B Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1