USP – Sem Campus – Álgebra Linear - Provas – P3 – 2017 – 6
Seja o subespaço de () gerado pelas matrizes:
e
Suponha que sejam tais que para qualquer . Pode-se afirmar que:
(
Passo 1
Salve galera! Vamos lá resolver essa questão? Primeira coisa importante na questão é a definição de , que é um subespaço de (ou seja, o conjunto das matrizes compostas por números reais). E ainda por cima, ainda nos dá a bases na qual é gerada:
e
Como o subespaço é gerado pelas matrizes dadas, e a matriz que a gente desconhece:
faz parte do subespaço de , então essa matriz desconhecida pode ser descrita como um produto de dois escalares desconhecidos, pelas bases do espaço , multiplicando cada vetor. Dessa forma:
Mas olha, é uma matriz genérica do subespaço , beleza?
A questão nos fala que existem quatro constantes reais, que fazem a relação abaixo ser verdadeira para qualquer matriz de
Daí, precisamos encontrar alguma relação entre essas constantes.
Showzinho, vamos continuar desenvolvendo no próximo passo!
Passo 2
E aqui temos justamente um sistema de equações! Pra montar ele, vamos relacionar os termos que pertencem a mesma posição. Por exemplo, olhando somente para , que está na posição (primeira linha e primeira coluna), temos:
E por aí vai. Montando o sistema de equações pra todos os casos:
Belezura. Mas o enunciado nos diz que:
Então vamos substituir cada variável pelo valor que achamos no nosso sistema. Portanto:
Separando em moldes de e :
Passo 3
Showzinho. Daqui precisamos raciocinar o seguinte:
Se:
Significa que os dois termos que multiplicam os escalares e , são simultaneamente iguais a . Ou seja:
E aqui temos mais um sistema pra resolver (Me desculpe meus lindos, prometo que esse é o ultimo).
Passo 4
Daorinha, agora vamos resolver esse sistema. Você tem uma dica que vai ajudar a gente resolver bem rápido? Vamos multiplicar a segunda equação por e utilizar o método da soma para resolver o sistema. Logo:
E encontramos aí uma relação. E essa relação, é a mesma conclusão que a questão nos entrega no item b).
E é isso! WE DID IT!!! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você
Resposta
Item