USP, Álgebra Linear 1 – P3 – 2017 – Questão 14
Seja . Temos que pertencerá ao subespaço de gerado pelos vetores
se, e somente se, for igual a:
- ;
- ;
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- ;
- .
Passo 1
Fala aí, meu povo! Tudo bem por aí?
Aqui nessa questão nós temos um vetor e queremos que ele pertença a um certo subespaço gerado. Mas o que exatamente isso quer dizer? Bom, subespaço gerado nada mais é do que o conjunto de todas as combinações lineares de um certo grupo de vetores.
Assim, para que pertença ao subespaço gerado por , e , a gente precisa ver se consegue encontrar três números tais que:
Beleza? Mas aí você deve estar se perguntando: “mas o que a questão quer como resposta é o valor de , certo? Como isso me ajuda em alguma coisa?” Excelente pergunta, meu pequeno gafanhoto. Mas aí vai nos ajudar é muito, porque se notarmos direitinho a equação acima, vamos ver que podemos expandi-la e então transformá-la em sisteminha que podemos então resolver:
Separando por coordenada:
Agora que a gente conseguiu converter nosso problema em um sistema de equações, só precisamos usar qualquer método pra resolvê-lo e encontrar o valor de ! Então vamos lá.
Passo 2
Só recapitulando, encontramos o seguinte sistema de equações:
Você pode resolvê-lo do jeito que ficar mais fácil para você, tá? Existem mil e uma maneiras de resolver sistemas lineares, mas aqui eu vou na força bruta mesmo, tá? Hahah
Por força bruta, eu me refiro ao método de substituição de variáveis, que a gente costuma aprender ainda na escola. Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação, obtemos :
Como agora já sabemos o valor de , vamos retro substituir na equação para :
Show! Vamos também substituir o valor de na terceira equação:
Juntando essas duas últimas equações que obtivemos, temos:
Mais fácil, né? Com só duas incógnitas, a gente isola na primeira equação:
E substitui na segunda:
Show! Como a última equação do nosso sisteminha que envolvia nossa incógnita só tem e , nem precisamos calcular o valor de . Com isso ganhamos algum tempo, né? Vamos então substituir os valores que encontramos para e na última equação:
E tá pronto! Encontramos o que o enunciado pedia 😊
Que tal fazermos juntos mais uma questão?
Resposta
(e) .