USP – Sem Campus – Álgebra Linear - Provas – P3 – 2017 – 8
Considere os subespaços e de definidos por:
Temos que a dimensão de é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Fala aí gente boa, beleza? Bora pra cima da questão! O problema nos entrega dois subespaços e . Esses são subespaços de . Você sabe o que quer dizer isso? Significa que: e
São subespaços do espaço vetorial que contém todos os polinômios de grau menor ou igual a 3.
E então ela nos pede a dimensão de Isso significa que temos que descobrir em quantas dimensões, os vetores da intersecção de com são definidos. Se essa última frase não ficou tão clara, calma que lá no passo 5 você vai entender perfeitamente, então salva essa informação
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quem é . Como essa intersecção é um subespaço de , então essa intersecção obrigatoriamente é também um polinômio de grau menor ou igual a 3. Portanto, a gente pode escrever como:
Como esse polinômio é uma intersecção de com , então ele precisa atender às duas condições impostas por e simultaneamente. Sabendo disso, vamos então adequar esse para os moldes de , e depois adequar aos moldes de . Dessa forma, nós garantimos que esse polinômio pertença as duas ao mesmo tempo, ou seja, pertença a intersecção de com .
Passo 3
Beleza, bora lá. Como é definido o subespaço de ? A questão nos entrega que:
Então, significa que para o polinômio existir em , precisamos que a soma do: polinômio para com o polinômio para seja 0. Então, vamos entender quem é o polinômio para Se tem esse formato:
Logo, vai ser:
Show. Analogamente, vai assumir:
Agora aplicaremos a condição e veremos qual a condição para que esse polinômio exista em :
Ou seja:
Boa, essa é condição para que o polinômio possa existir tranquilamente em . Bora caçar a condição do agora 😊
Passo 4
Aqui em a brincadeira muda um pouquinho só. Temos que tem essa condição:
Em vez de simplesmente aplicar valores ao polinômio genérico , ele vai aplicar valores ao polinômio que é a derivada do polinômio genérico . Ou seja:
Mas quem é ? Também não sei. Mas vamos descobrir juntos hahahaha. Temos que o polinômio é:
Derivando-o em relação a :
Belezinha, encontramos o . Agora, semelhantemente ao que fizemos no passo anterior, vamos aplicar os valores que a questão disse que era a condição de existência desse polinômio em , ou seja:
Se,
Logo:
Agora achando o :
Se,
Logo:
Somando com , e igualando a 0 (que é aplicar a condição que impôs pra gente):
Ou seja,
Essa é a condição que define a existência do polinômio em . Como precisamos dessas duas condições juntas. No próximo passo, vamos juntar essas duas condições simultaneamente, e assim encontrar .
Passo 5
Show, agora que já sabemos as condições para o polinômio existir:
Podemos aplicar ele no nosso polinômio genérico . Ao aplicarmos essas condições, estaremos encontrando a nova “cara” de . Essa nova cara é justamente a representação dos polinômios dentro de . Se,
Aplicando as condições, temos:
Reorganizando isso, deixando e em evidência:
Belezinha, achamos o , que é o polinômio que tá na intersecção de . E como sabemos o numero de dimensões desse polinômio? Agora que aquela parte que eu citei de dimensões dos vetores vão fazer sentido pra gente. Presta atenção no polinômio:
E quem são os vetores nesse polinômio? São justamente os elementos e . Eles são definidos por duas constantes. Elas que vão definir as direções do vetor. Ou seja: se o vetor do polinômio é definido por dois fatores (que são as duas contantes ), significa que ele tem duas dimensões. Portanto, a alternativa correta é o item .
E é isso! WE DID IT!!! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você
Resposta
item .