USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P3 - 2017, Questão 1
Sejam um espaço vetorial de dimensão finita, e subespaços de e e bases de e , respectivamente. Considere as seguintes afirmações:
o conjunto é uma base de ;
existe uma base de que contém o conjunto
existe uma base de que contém o conjunto .
Assinale a alternativa correta:
a) apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;
b) apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;
c) apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;
d) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;
e) apenas a afirmação é necessariamente verdadeira.
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo tranquilo?
Nessa questão temos dois subespaços de um espaço vetorial : e . Sobre e é dito que e , respectivamente, são suas bases. A partir daí são feitas afirmações. Vamos analisar cada uma delas separadamente.
A afirmação basicamente diz que o conjunto formado pela soma dos elementos de e é uma base de .
Para analisar essa afirmação precisamos lembrar que para um conjunto ser chamado base de um subespaço ele precisa atender duas coisas:
Ser capaz de gerar qualquer elemento do subespaço vetorial.
Ser formado apenas por vetores .
E é aí que mora o problema, vamos dar um contraexemplo pra deixar bem claro. Seja
E:
A soma dos elementos de e gera o conjunto:
Mas esse conjunto não é formado apenas por vetores . O vetor:
É uma combinação linear dos demais. Portanto, o conjunto não é uma base de .
Passo 2
Já na afirmação é falado que existe uma base da intersecção , que contém .
Vamos analisar essa afirmação.
O conjunto é capaz de gerar elementos que pertencem tanto a como a . Ou seja, ele é capaz de gerar elementos que pertencem a .
Assim, se é uma base de , ela também precisa gerar os elementos que são gerados por . Então, pode ser formado por:
Assim, garantimos que existe uma base de que contém .
Passo 3
A afirmação diz que existe uma base de , o espaço vetorial, que contém .
Então, aqui tem uma pegadinha que mais uma vez está no conceito de base. Como comentamos no passo , uma base precisa ser formada por elementos linearmente independentes. Mas, existem casos em que , será formada por elementos linearmente dependentes.
Vamos dar um contraexemplo para a afirmação .
Suponhamos que:
E:
Então, quando fazemos , temos:
Esse conjunto, como podemos ver possui elementos linearmente dependentes.
Assim, se uma suposta base de contém , ela também seria linearmente dependente, logo não seria uma base. Sacaram?
Por isso, a afirmação é falsa.
Com isso, chegamos na resposta: letra e).
Espero que vocês tenham gostado, até a próxima 😊
Resposta
Letra e).