USP – Sem Campus – Álgebra Linear - Provas – P3 – 2017 – 11
Considere a matriz
e seja o subespaço de definido por:
.
Temos que a dimensão de é igual a:
(a) 2;
(b) 3;
(c) 4;
(d) 1;
(e) 0.
Passo 1
Salve galera! Vamos lá resolver essa questão. Como o nosso objetivo é descobrir a quantidade de dimensões de , precisamos escrever explicitamente pra sabermos em quantos termos diferentes ela é descrita. A questão nos entrega que:
.
E aqui surge uma relação entre uma matriz genérica e a matriz . Mas eu te pergunto: o que muda quando você muda os termos de posição dentro de uma multiplicação de matrizes? Simplesmente tudo! Isso muda a forma em como vamos escolher colunas ou matrizes para multiplicarmos dentro da matriz.
Para isso utilizaremos uma matriz genérica B = para ver como ela se comporta ao relacionarmos com a matriz A no subespaço vetorial.
Passo 2
Temos então que, ao substituir os termos que já sabemos de com a matriz genérica . Logo:
Desevolvendo a multiplicação:
Passo 3
Tranquilo, encontramos uma relação entre 4 variáveis:
Ou seja, a dimensão de é igual a 4? ERRADO! Ainda não sabemos se essas 4 variáveis é o menor número de variáveis possível para descrever as matrizes. Para sabermos isso, vamos atras de algum sistema que relacione as 4 variáveis. Como as matrizes são iguais, podemos igualar os elementos.
Nós é ingual
Só que diferente
Assim, temos:
Do primeiro elemento:
Do segundo elemento:
Dessa forma, conseguimos substituir de volta nas matrizes, Obtendo:
=
Passo 4
Agora vem a parte tranquila: como percebemos que a matriz
Esstá em função somente de e , significa que ela só tem 2 graus de liberdade, ou seja, duas dimensões. Portanto, possui somente 2 dimensões. Logo, a resposta da questão está no item a).
E é isso! WE DID IT!!! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você
Resposta
Item 2;