USP – Sem Campus – Álgebra Linear - Provas – P3 – 2017 – 5
Seja V um espaço vetorial de dimensão 15 e sejam e subespaços de tais que
e
Considere as seguintes afirmações:
(I)
(II) existe tal que
(III) se , então para quaisquer tais que , vale que o conjunto é linearmente dependente.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;
(b) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
(c) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
(d) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
(e) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
Passo 1
Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Então simbora. A questão nos dá 3 coisas bem importantes que devemos considerar aqui. Primeiro é que a dimensão de (que é um espaço vetorial) é igual a 15. Logo em seguida ele nos dá duas relações sobre subespaços vetoriais de , que ele denominou de e :
Show, bora começar a trabalhar essas afirmações e achar a combinação de afirmativas verdadeiras. No problema amigo!
Passo 2
Showzinho. A primeira afirmativa diz:
Traduzindo: A dimensão da intersecção entre os subespaços vetoriais e são maiores ou iguais a 2. Já que a nossa missão é saber se isso é verdade, vamos tentar achar um valor pra essa intersecção também. Aqui, vamos usar uma analogia bem interessante que a maioria dos alunos estudaram no ensino médio dentro do assunto de conjuntos numéricos. Temos que:
Lá no ensino médio, se tínhamos que era um conjunto e e eram os subconjuntos, podíamos afirmar sobre a equação (1), que: “O conjunto é uma união dos subconjuntos ”. E como era mesmo que a gente calculava o número de elementos da união entre dois subconjuntos?
Traduzindo: O número de elementos de que é igual a união de com é igual ao número de elementos de mais o número de elementos de menos o número de elementos de intersecção de com .
Passo 3
Okay, mas como isso ajuda a gente em álgebra linear? Simplesmente em TUDO! Porque podemos pegar o mesmo principio de conjuntos, e converter para espaços vetoriais. Logo:
Mas aí que tá, gente boa, olha o que a questão ainda disse pra gente, lá da relação de equações do passo 1:
Então, só pra comodidade de escrita, vou chamar . E que daora o que a questão também entrega pra gente:
Então, vamos aplicar essas relações na equação (2). Começando pela primeira:
E aplicando a segunda:
Fazendo um “joga lá, dá cá” e isolando o nosso :
Mas aí que tá meus padawans. Qual valor que assume? (dica: a resposta está na equação (3)) Isso mesmo, assume o valor (ou com um rigor matemático maior: “os valores”):
Aplicando essa relação em :
Isolando o que a gente quer, que é ):
Ué, mas afirmativa não tinha nos falado que:
- existe tal que
Logo, ela é FALSA!!
Bora pra próxima
Passo 4
Na afirmativa 2, a questão fala pra gente que:
Traduzindo: Existe um vetor pertencente a intersecção de e tal que a própria intersecção de com é o próprio espaço gerado pelo vetor . Tá, mas... o que isso quer dizer?
Ora, quer dizer que: a dimensão dessa intersecção tem dimensão igual a 1 (porque ela é composta por somente o vetor ). E quando um vetor (ou um conjunto de vetores) determina o conjunto ou subconjunto vetorial, esse vetor é chamado de base. Mas aí gente, literalmente acabamos de calcular quais eram os possíveis valores dessa intersecção . Lá da equação (6):
E para a definição de dimensões, só podemos ter valores de dimensões representados por números naturais. Tipo: 1 dimensão, 2 dimensões, 15 dimensões e por aí vai. Perceba que não podemos nem imaginar como seria um vetor de dimensões. Sendo assim, a dimensão da intersecção só pode ser 2 valores.
Ou,
Então a nossa missão, é testar qual valor das possíveis dimensões de realmente existe. Para isso, aplicaremos o valor dessa dimensão dentro daquela equação (5), que relaciona a intersecção de e com os próprios subespaços vetoriais e . Se obtivermos valores INTEIROS de e , significa que aquele é o valor correto para a dimensão da intersecção.
Passo 4
Eaí, tão prontos pra testar?
Pra fazermos esse teste, vamos começar primeiro partido de:
Aplicando esse valor na eq (5):
Logo,
Mas isso não é possível, porque não é um numero inteiro. Agora vamos testar para:
Semelhantemente, aplicando o valor na eq (5):
E olha que coisa delicia de se ver: além de confirmarmos que a dimensão da nossa intersecção é , também comprovamos que realmente, as dimensões de e são iguais a 8. Já que:
Ou seja, voltando pra afirmação: realmente a dimensão da intersecção é formada por somente 1 vetor (1 dimensão). Portanto, afirmativa II está correta! Bora pra o próximo item e arrematar a questão? Simbora!
Passo 5
A afirmativa III nos conta que:
(III) se , então para quaisquer tais que , vale que o conjunto é linearmente dependente.
Traduzindo: Se a intersecção não for o vetor nulo (ou seja, se a dimensão da intersecção for diferente do nada, como comprovado no passo anterior), então para quaisquer vetores e pertencentes a essa intersecção tais que esses vetores são diferentes entre si, e são linearmente dependentes.
Eu sei que isso pode parecer gigante de raciocinar, mas vamos entender por partes. Eu tenho dois vetores que eu vou escolher da minha intersecção . Mas como no passo anterior eu achei que a dimensão desse conjunto era de e era composta por um vetor . E aqui que vem o “pulo do gato”!
Qualquer vetor que esteja dentro dessa intersecção, pode ser escrita como um múltiplo da BASE. Lembra dessa tal base que eu falei lá no passo 4? Poisé, isso vai ser importante agora. Resumindo então o que a gente concluiu: que e pertencem a intersecção e , de forma que (ou ) é um múltiplo da base . Traduzindo isso matematicamente:
E para o vetor :
Sendo e constantes.
E olha que legal: acabamos de demonstrar que esses vetores são múltiplos de uma mesma base . Já que:
Logo,
E para vetores, se um vetor é múltiplo do outro, esses vetores são linearmente dependentes. Logo, a afirmativa é verdadeira! Portanto, o item que nos satisfaz é o item .
E é isso! WE DID IT!!! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você
Resposta
item .