USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P3 - 2017, Questão 2
Seja o espaço vetorial de todas as funções e seja o subespaço de definido por
em que
para todo . Uma base para é:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Olá gente, tudo bem?
Nessa questão recebemos um subespaço composto por funções:
E, precisamos determinar uma base para esse subespaço.
Para termos uma base precisamos selecionar as funções que são linearmente independentes e que sejam capazes de gerar todas as outras através de combinação linear.
Portanto, é justamente isso que vamos fazer. Vamos identificar quais funções dentre as que compõem , podem ser geradas por combinação linear das demais.
Vamo lá!
Passo 2
Temos:
Vamos começar analisando as mais complexas.
Só de termos aberto a expressão de já conseguimos perceber que ela é combinação linear de e .
Vamos analisar :
À primeira vista ela não é combinação linear de e , mas devemos nos lembrar de uma propriedade trigonométrica bem interessante:
Substituindo na nossa expressão, temos:
Olha aí, tava escondido haha, mas apareceu. também é uma combinação de linear de e .
Pra finalizar, precisaríamos apenas analisar e pra ver se alguma delas é combinação linear da outra.
possui uma função trigonométrica que não existe em . Sendo assim, ela não pode ser obtida apenas multiplicando por um escalar.
Sendo assim, chegamos que uma base de é:
Ou seja, letra d).
Resposta
Letra d).