USP, Álgebra Linear 1 – P3 – 2017 – Questão 12
Considere o conjunto
munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por
para todos e todo . Temos que o conjunto , munido dessas operações, é um espaço vetorial e que o conjunto
é um subespaço de . Assinale a alternativa correspondente a uma base do espaço vetorial :
- ;
- ;
- ;
- .
Passo 1
Fala aí, pessoal! Como vocês estão? Talvez você tenha terminado de ler esse enunciado e já esteja bem assim:
Mas calma! O enunciado mandou um conjunto esquisitão aí pra gente, umas operações bem diferentes das que a gente tá acostumado, mas a primeira coisa que a gente precisa lembrar é que um espaço vetorial nada mais do que isso:
- Algum conjunto (não-vazio);
- Duas operações: soma e multiplicação por escalar.
A rigor, as duas operações precisam satisfazer algumas regrinhas específicas para se enquadrar na definição de espaço vetorial e os tais “escalares” da multiplicação por escalar podem vir de conjuntos bem doidões também. Mas não precisamos nos preocupar com isso agora! O enunciado já disse que é um espaço vetorial, então já sabemos que quaisquer regrinhas que precisassem ser cumpridas já são mesmo.
Ok! Mas então, o enunciado definiu pra gente mais um conjunto, , que com as mesmas operações de , vai ser um subespaço vetorial e tá pedindo para encontrarmos uma base. É esse o objetivo da nossa questão. Pois bem, para termos uma base precisamos de um conjunto:
- LI;
- Qualquer vetor de deve poder ser escrito como combinação linear dos vetores da base;
São esses os dois requisitos que precisamos cumprir. Há várias formas de tentar encontrar uma base, mas o que a gente precisa lembrar é o seguinte: a base não é única. Existem infinitas bases diferentes! Mas então, como que vamos encontrar a nossa resposta??
Parece uma situação desesperadora, mas não é! A melhor estratégia a adotar nesses casos é ir testando as alternativas uma a uma. Dessa forma, a gente garante que não vamos estar encontrando uma base possível, mas que não tem na múltipla escolha. Beleza? Vamos lá então.
Passo 2
O conjunto foi definido como:
Ou seja, os elementos desse conjunto são da forma:
onde a segunda coordenada é a raiz cúbica da primeira coordenada. Podemos então começar eliminando alternativas que tenham vetores que não satisfaçam a esse critério. Como os únicos vetores que aparecem nas alternativas são e , temos:
Ok! Todos eles passaram no critério, então infelizmente não deu para eliminar nenhuma alternativa por enquanto.
Passo 3
Vamos então passar para avaliar cada uma das alternativas separadamente, ok? O vetor sozinho numa base talvez já tenha acendido uma luzinha vermelha na sua cabeça. Afinal, talvez você esteja pensando “Se minha base for , qualquer vetor de tem que ser um múltiplo de por algum escalar , mas será mesmo que dá?”
Pois é! Não dá mesmo. Porque pela definição de multiplicação por escalar que temos do enunciado:
Isso porque , elevado a qualquer coisa, dá ! Nós já vimos no passo anterior que , mas não daria para obtermos ele a partir de . Ou seja, a letra (a) já tá descartada. Não dá para ser uma base.
Passo 4
O passo anterior talvez já tenha te dado outra ideia. Você pode estar pensando “assim como elevado a qualquer coisa dá , eu também sei que qualquer coisa elevado a dá zero. Então será que não daria para obter o a partir de qualquer outro vetor de simplesmente tomando ?” Se você pensou nisso, pensou certo! 😊
Vejamos por exemplo os vetores:
Mas então, o que isso que acabamos de descobrir quer dizer?
Se daria para obter o vetor a partir do ou do por multiplicação por escalar, então qualquer conjunto que tenha o vai ser LD! E lembra que ser LI é um dos requisitos que precisamos para ter uma base.
Com isso, já eliminamos as alternativas (d) e (e) .
Passo 5
Beleza, até agora já eliminamos as alternativas (a), (d) e (e), nos sobrando as seguintes possibilidades:
(b)
(c)
Já vimos que tanto quanto pertencem a , mas no passo anterior também ressaltamos que uma base precisa ser um conjunto LI, ou seja, na letra (c), se for possível escrever como um múltiplo de ou como um múltiplo de , então o conjunto será LD e a resposta será a letra (b).
Mas e se não for possível? Ou seja, e se concluirmos que é LI? Então temos um conjunto de vetores ambos pertencentes a e LI, logo a resposta vai ser a letra (c)! Já sabemos então como proceder.
A pergunta agora então é: existe algum tal que ou algum tal que ? Essa pergunta parece complicada, mas como é muitas vezes o caso com expressões que envolvem potências, quem vai nos salvar são os logaritmos hahah.
Vamos tentar o primeiro caso:
Igualando a , temos:
Temos na verdade então duas equações:
Como e , aplicando a ambos os lados da primeira equação, obtemos:
Vamos agora para a segunda equação, aplicando novamente a ambos os lados:
Como encontramos uma solução única para o sistema de equações, temos:
Beleza! Mas o que concluímos a partir disso? Pois bem, concluímos que se tomarmos e fizermos , dessa operação vamos obter . Em outras palavras, é um múltiplo de pelo escalar . Portanto, o conjunto não é LI, logo não é uma base.
Com isso, descartamos a alternativa (c), nos sobrando apenas a resposta certa: (b)!
Curtiu? Vamos juntos para uma mais questão então!
Passo 6
Resposta
(b) ;