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P2 de Álgebra Linear 2 da USP - 2019

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Álgebra Linear 2 - USP

Sejam a e b números reais, B uma base de P 2 ( R ) , C uma base de M 2 ( R ) e T : P 2 R → M 2 ( R ) a transformação linear tal que:

T B C = 1 - 2 b 1 - 1 1 2 a 0 0 1 - 1

Pode-se afirmar que:

  1. T será injetora se, e somente se, b ≠ 2 ou a ≠ 0 ;
  2. T será injetora se, e somente se, b ≠ 2 e a ≠ 0 ;
  3. T é injetora;
  4. T será injetora se, e somente se, b ≠ 3 e a ≠ 1 ;
  5. K e r T ≠ { 0 }

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Sejam n um inteiro positivo e A , B ∈ M n ( R ) matrizes semelhantes. Assinale a alternativa contendo uma afirmação que NÃO é necessariamente verdadeira:

  1. Para qualquer v ∈ R n , se v for um autovetor de A , então v será um autovetor de B ;
  2. Para qualquer λ ∈ R , se λ for um autovalor de A , então λ será um autovalor de B ;
  3. As matrizes transpostas A t e B t são semelhantes;
  4. As matrizes A k e B k são semelhantes, para todo inteiro k ≥ 1 ;
  5. As matrizes A e B possuem o mesmo polinômio característico.

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Sejam a ∈ R , V um espaço vetorial de dimensão 5 e T   : V → V um operador linear cujo polinômio característico seja:

p T t = - ( t 3 - a t ) ( t 2 - 4 )

Pode-se afirmar que:

  1. Se a < 0 , então T não será diagonalizável;
  2. Se a = 4 , então T será diagonalizável;
  3. T é injetor;
  4. dim ⁡ K e r T ≥ 2 ;
  5. Se a ≥ 4 , então T será diagonalizável.

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Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T :   V → V um operador linear diagonalizável. Suponha que o polinômio característico de T seja p T t = t 754 e considere as seguintes afirmações:

  1. O operador T é nulo;
  2. dim ⁡ V = 754 ;
  3. Existem infinitas bases B de V tais que a matriz T B seja diagonal.

Assinale a alternativa correta:

  1. Todas as afirmações são verdadeiras;
  2. Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
  3. Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
  4. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
  5. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;

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Considere as bases B e C de P 2 ( R ) dadas por:

B = { 1 + t + t 2 ,   1 - 7 t + t 2 ,   t + t 2 } e C = { 7 + 2 t ,   3 + t ,   t 2 }

Denotando por I :   P 2 R → P 2 ( R ) a transformação identidade, teremos que a soma dos elementos na diagonal principal da matriz I B C será igual a:

  1. - 52
  2. 52
  3. 65 / 8
  4. 63 / 8
  5. 6

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Considere as seguintes afirmações:

  1. Se n for um inteiro positivo, T : R n → R 988 for uma transformação linear sobrejetora, B for uma base de R n e C for uma base de R 988 , então as colunas da matriz T B C serão linearmente independentes;
  2. Se B = { e 1 ,   e 2 ,   … ,   e 988 } for uma base de R 988 e T : R 988 → R 988 for a transformação linear tal que T e 1 = e 2 e T e j = 0 para todo j = 2 , … ,   988 ,   então T B 2 = 0 ;
  3. Se T : R 988 → R 988 for uma transformação linear diagonalizável, então a matriz que representa T na base canônica terá determinante não nulo.

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
  2. Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
  3. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
  4. Todas as afirmações são falsas;
  5. Todas as afirmações são verdadeiras;

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Seja T : R 3 → R 3 um operador linear tal que:

M - 1 T c a n M = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

Em que

M = 1 0 1 0 1 1 1 1 0

E can denota a base canônica de R 3 . Temos que T ( 5,3 , 4 ) é igual a:

  1. 9,8 , 5 ;
  2. 7,7 , 6 ;
  3. 8,5 , 9 ;
  4. 5,11,13 ;
  5. 10,6 , 8 .

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Sejam T : R 2 → R 2 e S :   R 2 → R 2 operadores lineares tais que:

1,2 ∈ K e r 1 2 T + S - 2 I                   - 1 , - 3 ∈ K e r 1 2 T + S + I

E S x , y = x + y ,   x + 2 y ,   ∀ ( x , y ) ∈ R 2 , em que I :   R 2 → R 2 denota a transformação identidade. Dados ( x , y ) ∈ R 2 , temos que T ( x , y ) é igual a:

  1. 14 x - 8 y ,   34 x - 18 y ;
  2. 14 x - 20 y ,   10 x - 18 y ;
  3. 7 x - 4 y ,   17 x - 9 y ;
  4. 7 x - 10 y ,   5 x - 9 y ;
  5. 28 x - 16 y ,   20 x - 36 y .

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Seja a ∈ R e considere a matriz:

A = a 0 0 3 2 0 6 2 a

Pode-se afirmar que:

  1. A será diagonalizável se, e somente se, a = 1 ;
  2. A será diagonalizável se, e somente se, a = 0 ;
  3. A será diagonalizável se, e somente se, a = 2 ;
  4. A não é diagonalizável;
  5. Se a ≠ 2 , então A será diagonalizável.

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Considere o espaço vetorial R 2 munido do seu produto interno usual. Sejam T : R 2 → R 2 e S : R 2 → R 2 os operadores lineares tais que:

T B C = 5 - 5 / 2 0 5 / 2                   e                       S C B = 2 0 - 1 - 1

Em que B e C são as bases de R 2 dadas por:

B = 2,1 , 1 , - 2               e                 C = { 1,1 , ( 1 , - 1 ) }

Assinale a alternativa correta:

  1. T é simétrico e S não é simétrico;
  2. T e S são ambos simétricos;
  3. Nem T nem S são simétricos e as matrizes T B e S B são semelhantes;
  4. Nem T nem S são simétricos e as matrizes T B e S B não são semelhantes;
  5. S é simétrico e T não é simétrico.

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Seja T : P 2 R → P 2 ( R ) um operador linear tal que:

K e r T - 2 I = 1 + t ,   1 - t 2                 e                 K e r T - I = [ 1 + t + t 2 ]

Em que I :   P 2 R → P 2 ( R ) denota a transformação identidade. Considere a base B = { 1 , t , t 2 } de P 2 ( R ) . Se

T 333 B = a b c d e f g h i

Então a + d será igual a:

  1. 2 - 2 333
  2. 2 334
  3. 1 - 2 333
  4. 1 + 2 334
  5. - 2 333

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Considere a base

B = { 1 , t + 1 ,   t 2 + t + 1 }

De P 2 ( R ) , a base

C = { 1,0 , 1 ,   1,1 , 0 , ( 0,1 , 1 ) }

De R 3 e a base D = { 1 , t , t 2 } de P 2 ( R ) . Sejam

T : P 2 R → P 2 R                         S : P 2 R → R 3

Transformações lineares tais que:

S 1 = 2,2 , 2 ,                     S t + 1 = 3,5 , 2 ,                   S t 2 + t + 1 = ( 2,1 , 1 )

E:

S ∘ T B C = 6 5 3 12 5 0 4 0 - 1

Temos que o determinante da matriz T D é igual a:

  1. 10
  2. - 30
  3. - 10
  4. 30
  5. - 3

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Considere as seguintes afirmações:

  1. Se n for um inteiro positivo, A ,   B ∈ M n ( R ) forem matrizes diagonalizáveis e os polinômios característicos de A e B forem iguais, então A e B serão semelhantes;
  2. Se n for um inteiro positivo, A , B ∈ M n ( R ) forem matrizes semelhantes e A for simétrica, então B será simétrica
  3. Se V for um espaço vetorial munido de um produto interno e se T : V → V e S : V → V forem operadores lineares simétricos, então o operador T ∘ S + S ∘ T será simétrico.

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras;
  2. Apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras;
  3. Apenas a afirmação ( I ) é verdadeira;
  4. Todas as afirmações são falsas;
  5. Todas as afirmações são verdadeiras.

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Considere as seguintes afirmações:

  1. Se n for um inteiro positivo e A , B ∈ M n ( R ) forem matrizes com o mesmo determinante, então A e B serão semelhantes;
  2. Se V for um espaço vetorial tal que dim ⁡ V = 1777 , I :     V → V denotar a transformação identidade e T :     V → V for uma transformação linear tal que 55 e 99 sejam autovalores de T e tal que dim ⁡ K e r ( T - 55 I ) = 1776 , então T será diagonalizável;
  3. A matriz

77 43 0 0 77 43 0 0 77

É diagonalizável.

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas a afirmação ( I I ) é verdadeira;
  2. Todas as afirmações são verdadeiras;
  3. Apenas as afirmações I e ( I I ) são verdadeiras;
  4. Apenas as afirmações I I e ( I I I ) são verdadeiras;
  5. Apenas as afirmações I e ( I I I ) são verdadeiras;

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15. Considere a base B = 1 ,   77 ,   45 , 0 ,   9 ,   33 , 0 ,   0 ,   877 de R 3 e o operador linear T : R 3 → R 3 tal que:

T B = 3 - 1 1 1 1 1 1 3 1

Assinale a alternativa correta:

(a) T é diagonalizável e os autovalores de T são 2 , 3 + 17 2 e 3 - 17 2 ;

(b) T não é diagonalizável e os autovalores de T são 2 , 17 e -   17 ;

(c) T não é diagonalizável e os autovalores de T são 2 e 1 ;

(d) T é diagonalizável e os autovalores de T são 2 e 5 ;

(e) T é diagonalizável e os autovalores de T são 2 , 17 e -   17 .

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Listas de Exercícios Resolvidos

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