Considere a base
De , a base
De e a base de . Sejam
Transformações lineares tais que:
E:
Temos que o determinante da matriz é igual a:
Passo 1
Faaala, pessoal! Vamos nos valer de algumas propriedades de mudança de base nesta questão, mas o primeiro passo é analisar como é composta e chegar ao resultado esperado.
Veja que onde podemos construir a partir dos valores de dados e a mudança de ambas as bases de uma transformação não altera o determinante, logo:
Passo 2
Calculando, pois, o determinante de , temos:
Passo 3
Quanto a , veja que conectando os elementos das bases:
Teremos a matriz compondo-o a por colunas. Cada coluna é dada pelos coeficientes da base da imagem de um elemento da base do domínio. Assim:
Cujo determinante é dado por:
Passo 4
Reunindo os resultados: