USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q7
Considere a base
De , a base
De e a base de . Sejam
Transformações lineares tais que:
E:
Temos que o determinante da matriz é igual a:
Passo 1
Faaala, pessoal! Vamos nos valer de algumas propriedades de mudança de base nesta questão, mas o primeiro passo é analisar como é composta e chegar ao resultado esperado.
Veja que onde podemos construir a partir dos valores de dados e a mudança de ambas as bases de uma transformação não altera o determinante, logo:
Passo 2
Calculando, pois, o determinante de , temos:
Passo 3
Quanto a , veja que conectando os elementos das bases:
Teremos a matriz compondo-o a por colunas. Cada coluna é dada pelos coeficientes da base da imagem de um elemento da base do domínio. Assim:
Cujo determinante é dado por:
Passo 4
Reunindo os resultados:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Sejam E = ( u → ,v → ,w → ) uma base e F = v → - u → ,u → - w → ,u → . Mostre que F é base e calcule a tripla de coordenadas do vetor u → + 2 v → + 3 w → na base F .
Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 bases tais que 2 e → 1 = 3f → 1 - f → 3 g → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 2 e → 2 = f → 1 + 3f → 3 g → 2 = e → 1 +
Sejam A, B, C, D matrizes de ordem n, sendo A e B semelhantes, C e D semelhantes. É verdade que A + C e B + D são semelhantes? E quanto a AC e BD?
Encontre o vetor de coordenadas de A em relação à base S = A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 de M 22 . A = 2 0 - 1 3 , A 1 = - 1 1 0 0 , A 2 = 1 1 0 0 , A 3 = 0 0 1 0 eA 4 = 0 0 0 1
Considere as bases B = u 1 ,u 2 e B ' = u 1 ' ,u 2 ' de R 2 , em que u 1 = 1 0 ,u 2 = 0 1 ,u 1 ' = 2 1 ,u 2 ' = - 3 4 a) Encontre a matriz de transição de B ' para B .b) Encontre a matriz de transição