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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q14

Sejam T : R 2 → R 2 e S :   R 2 → R 2 operadores lineares tais que:

1,2 ∈ K e r 1 2 T + S - 2 I                   - 1 , - 3 ∈ K e r 1 2 T + S + I

E S x , y = x + y ,   x + 2 y ,   ∀ ( x , y ) ∈ R 2 , em que I :   R 2 → R 2 denota a transformação identidade. Dados ( x , y ) ∈ R 2 , temos que T ( x , y ) é igual a:

  1. 14 x - 8 y ,   34 x - 18 y ;
  2. 14 x - 20 y ,   10 x - 18 y ;
  3. 7 x - 4 y ,   17 x - 9 y ;
  4. 7 x - 10 y ,   5 x - 9 y ;
  5. 28 x - 16 y ,   20 x - 36 y .

Passo 1

Faaaala, galerinha. Observe que os dados que o enunciado dá acerca de 1 2 T + S nos mostram que possui autovalor 2 com autovetor ( 1,2 ) e autovalor - 1 com autovetor ( - 1 , - 3 ) . Como os autovalores são distintos, os autovetores são L.I. e o operador T , diagonalizável. Em sua diagonalização, 1 2 T + S   = P D P - 1 , teremos os autovetores compondo as colunas de P e os autovalores preenchendo a diagonal de D :

P = 1 - 1 2 - 3             e               D = 2 0 0 - 1

Passo 2

Precisamos ainda determinar P para completar a diagonalização:

  P     I   ) = 1 - 1 2 - 3     1 0 0 1 L 2 ' → L 2 - 2 L 1 ⇒   1 - 1 0 - 1     1 0 - 2 1 L 2 ' → - L 2 ⇒ L 1 → L 1 - L 2

⇒ 1 0 0 1     3 - 1 2 - 1 =   I   P - 1 )

Assim,

  1 2 T + S   = P D P - 1 = 1 - 1 2 - 3 2 0 0 - 1 3 - 1 2 - 1

= 2 1 4 3 3 - 1 2 - 1

= 8 - 3 18 - 7

E ainda:

1 2 T + S   x y = 8 - 3 18 - 7 x y = 8 x - 3 y 18 x - 7 y

Passo 3

Agora, para determinar T ( x , y ) basta manipular 1 2 T + S ( x , y ) :

1 2 T + S x , y = 1 2 T x , y + S ( x , y )

⇒ T x , y = 2 1 2 T + S x , y - 2 S ( x , y )

= 2 8 x - 3 y ,   18 x - 7 y - 2 ( x + y ,   x + 2 y )

= ( 14 x - 8 y ,   34 x - 18 y )

Resposta

  1. 14 x - 8 y ,   34 x - 18 y ;

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