Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

Ver Teoria
Exercício 311234567891011121314151617181920212223242526272829303233343536373839

Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q4

Sejam a e b números reais, B uma base de P 2 ( R ) , C uma base de M 2 ( R ) e T : P 2 R → M 2 ( R ) a transformação linear tal que:

T B C = 1 - 2 b 1 - 1 1 2 a 0 0 1 - 1

Pode-se afirmar que:

  1. T será injetora se, e somente se, b ≠ 2 ou a ≠ 0 ;
  2. T será injetora se, e somente se, b ≠ 2 e a ≠ 0 ;
  3. T é injetora;
  4. T será injetora se, e somente se, b ≠ 3 e a ≠ 1 ;
  5. K e r T ≠ { 0 }

Passo 1

Faleis, vós, rapeize. Se ligue que a imagem de T se trata de uma combinação linear das colunas de T B C , logo dim ⁡ I m ( T )   equivale ao número de colunas L.I., o que equivale ao posto/número de linhas L . I . , segundo teoremas. Escalonando a matriz descobriremos o posto.

Com isso, aplicamos o Teorema do Núcleo e da Imagem:

dim ⁡ I m ( T ) + dim ⁡ K e r ( T ) = dim ⁡ P 2 ( R )

Para que T seja injetora, devemos ter K e r T = { 0 } ou seja:

dim ⁡ I m ( T ) + 0 = 3

⇒ p o s T = 3

Passo 2

Escalonando a matriz:

T B C = 1 - 2 b 1 - 1 1 2 a 0 0 1 - 1 L 2 ' → L 2 + L 4 →   1 - 2 b 1 0 0 2 a 0 0 1 - 1 L 1 ' → L 1 - L 2 → L 3 ' → L 3 - 2 L 2

  →   0 - 2 b 1 0 0 0 a 0 0 1 - 1 L 1 ' → L 1 + 2 L 4 →   0 0 b - 2 1 0 0 0 a 0 0 1 - 1

Se a = b - 2 = 0 , p o s T = 2 . Logo, pelo menos um precisa ser ≠ 0 . Obviamente se ambos forem ≠ 0 a 4 ª linha é LD com a 1ª e a 3ª e p o s T = 3 . Se a = 0 e b - 2 ≠ 0 ou vice-versa, temos da mesma forma p o s T = 3 .

Portanto, T é injetora se, e somente se, a ≠ 0 ou b ≠ 2 .

Resposta

  1. T será injetora se, e somente se, b ≠ 2 ou a ≠ 0 ;

Exercícios de Livros Relacionados

Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .