Sejam e números reais, uma base de , uma base de e a transformação linear tal que:
Pode-se afirmar que:
- será injetora se, e somente se, ou ;
- será injetora se, e somente se, e ;
- é injetora;
- será injetora se, e somente se, e ;
Passo 1
Faleis, vós, rapeize. Se ligue que a imagem de se trata de uma combinação linear das colunas de , logo equivale ao número de colunas L.I., o que equivale ao posto/número de linhas , segundo teoremas. Escalonando a matriz descobriremos o posto.
Com isso, aplicamos o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Para que seja injetora, devemos ter ou seja:
Passo 2
Escalonando a matriz:
Se , . Logo, pelo menos um precisa ser . Obviamente se ambos forem a linha é LD com a 1ª e a 3ª e . Se e ou vice-versa, temos da mesma forma .
Portanto, é injetora se, e somente se, ou .
Resposta
- será injetora se, e somente se, ou ;