Considere as seguintes afirmações:
- Se for um inteiro positivo, forem matrizes diagonalizáveis e os polinômios característicos de e forem iguais, então e serão semelhantes;
- Se for um inteiro positivo, forem matrizes semelhantes e for simétrica, então será simétrica
- Se for um espaço vetorial munido de um produto interno e se e forem operadores lineares simétricos, então o operador será simétrico.
Assinale a alternativa correta:
- Apenas as afirmações e são verdadeiras;
- Apenas as afirmações e são verdadeiras;
- Apenas a afirmação é verdadeira;
- Todas as afirmações são falsas;
- Todas as afirmações são verdadeiras.
Passo 1
Faaaala, pessoal! Vamos por partes:
- VERDADEIRA. Como é diagonalizável, temos que onde é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os autovalores de , raízes do polinômio característico . Como é diagonalizável e possui o mesmo polinômio característico que , teremos , onde é a mesma para ambas. Note agora que:
- FALSA. Veja que se matriz não simétrica diagonalizável, então é semelhante à matriz diagonal simétrica. Veja o contra-exemplo:
- VERDADEIRA.
O que define e semelhantes.
Passo 2
E ainda,
Passo 3
Operadores simétricos são aqueles para os quais:
Assim, veja que para e simétricos:
Como queríamos demonstrar.
Resposta
- Apenas as afirmações e são verdadeiras;