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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q9

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se n for um inteiro positivo, A ,   B ∈ M n ( R ) forem matrizes diagonalizáveis e os polinômios característicos de A e B forem iguais, então A e B serão semelhantes;
  2. Se n for um inteiro positivo, A , B ∈ M n ( R ) forem matrizes semelhantes e A for simétrica, então B será simétrica
  3. Se V for um espaço vetorial munido de um produto interno e se T : V → V e S : V → V forem operadores lineares simétricos, então o operador T ∘ S + S ∘ T será simétrico.

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras;
  2. Apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras;
  3. Apenas a afirmação ( I ) é verdadeira;
  4. Todas as afirmações são falsas;
  5. Todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

Faaaala, pessoal! Vamos por partes:

  1. VERDADEIRA. Como A é diagonalizável, temos que A = M A D M A - 1 onde D é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os autovalores de A , raízes do polinômio característico p A ( t ) . Como B é diagonalizável e possui o mesmo polinômio característico que A , teremos B = M B D M B - 1 , onde D é a mesma para ambas. Note agora que:

    2. A = M A D M A - 1 = M A M B - 1 M B D M B - 1 M B M A - 1

    = ( M A M B - 1 ) ( M B D M B - 1 ) ( M B M A - 1 )

    = M A M B - 1 B M A M B - 1 - 1

    O que define A e B semelhantes.

    Passo 2

    E ainda,

  2. FALSA. Veja que se B ∈ M 2 ( R ) matriz não simétrica diagonalizável, então B é semelhante à matriz A diagonal simétrica. Veja o contra-exemplo:

    3. B = 1 2 0 3 = 1 1 0 1 1 0 0 3 1 1 0 1 - 1 = M A M - 1

    Passo 3

    Operadores simétricos são aqueles para os quais:

    D u ,   v = 〈 u ,   D v 〉

    Assim, veja que para T e S simétricos:

  3. VERDADEIRA.

  T ∘ S + S ∘ T u ,   v = T S u ,   v + S T u ,   v

= S ( u ) , T ( v ) + T u , S ( v )

= u , S ( T v ) + u , T ( S v )

= u , ( S ∘ T + T ∘ S ) ( v )

= u , ( T ∘ S + S ∘ T ) ( v )

Como queríamos demonstrar.

Resposta

  1. Apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras;

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