Seja e considere a matriz:
Pode-se afirmar que:
- será diagonalizável se, e somente se, ;
- será diagonalizável se, e somente se, ;
- será diagonalizável se, e somente se, ;
- não é diagonalizável;
- Se , então será diagonalizável.
Passo 1
Faaaala, pessoal! Uma matriz é dita diagonlizável se existe uma base de formada por autovetores desta. Se tivermos distintos, estarão associados a autovetores e nossa base existirá. No caso de termos um autovalor repetido vezes, temos de verificar se o espaço de autovetores de atende a . De forma a garantir a existência de autovetores L.I. para .
Passo 2
Assim, considerando que o polinômio característico . Calculamos :
Pelo Teorema do Posto e Nulidade, onde posto é o número de linhas (conservado pelo escalonamento) e nulidade é a dimensão do kernel de uma matriz, temos:
Assim, se, e somente se, , isto é, . De forma que é diagonalizável se, e somente se, .
Resposta
- será diagonalizável se, e somente se, ;