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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q6

Seja a ∈ R e considere a matriz:

A = a 0 0 3 2 0 6 2 a

Pode-se afirmar que:

  1. A será diagonalizável se, e somente se, a = 1 ;
  2. A será diagonalizável se, e somente se, a = 0 ;
  3. A será diagonalizável se, e somente se, a = 2 ;
  4. A não é diagonalizável;
  5. Se a ≠ 2 , então A será diagonalizável.

Passo 1

Faaaala, pessoal! Uma matriz é dita diagonlizável se existe uma base de R n formada por autovetores desta. Se tivermos λ 1 ,   … ,   λ n distintos, estarão associados a autovetores L . I . e nossa base existirá. No caso de termos um autovalor λ repetido m vezes, temos de verificar se o espaço de autovetores de λ atende a dim ⁡ K e r ( A - λ I ) = m . De forma a garantir a existência de m autovetores L.I. para λ .

Passo 2

Assim, considerando que o polinômio característico p A t = det ⁡ ( A - t I ) = a - t 2 ( 2 - t ) . Calculamos K e r A - a I :

A - a I = 0 0 0 3 2 - a 0 6 2 0 L 2 ' → L 2 - L 3 / 2 →     L 3 ' → L 3 / 2

→ 0 0 0 0 1 - a 0 3 1 0

Pelo Teorema do Posto e Nulidade, onde posto é o número de linhas L . I . (conservado pelo escalonamento) e nulidade é a dimensão do kernel de uma matriz, temos:

n u l ( A - a I ) + p o s A - a I = dim ⁡ R 3

⇒ dim ⁡ K e r ( A - a I ) + p o s A - a I = 3

Assim, dim ⁡ K e r ( A - a I ) = 2 se, e somente se, p o s A - a I = 1 , isto é, a = 1 . De forma que A é diagonalizável se, e somente se, a = 1 .

Resposta

  1. A será diagonalizável se, e somente se, a = 1 ;

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.