USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q1
Sejam um inteiro positivo e , matrizes semelhantes. Assinale a alternativa contendo uma afirmação que NÃO é necessariamente verdadeira:
- Para qualquer , se for um autovetor de , então será um autovetor de ;
- Para qualquer , se for um autovalor de , então será um autovalor de ;
- As matrizes transpostas e são semelhantes;
- As matrizes e são semelhantes, para todo inteiro ;
- As matrizes e possuem o mesmo polinômio característico.
Passo 1
Faaaaala, pessoal! As matrizes e serem semelhantes implica que:
Para alguma matriz inversível . Segue:
As raízes de são autovalores de , assim tem os mesmos autovalores e o mesmo polinômio característico, com e corretas.
Passo 2
Continuando, se , então e, repetindo, obtemos para todo . Logo, e são semelhantes e é verdadeira.
E ainda, veja que, transpondo: . Contudo, de segue que , logo , donde: e alternativa é verdadeira.
Passo 3
Para provar que é falsa, basta encontrar um contra-exemplo. Assim, buscando matrizes simples que satisfaçam encontramos:
São semelhantes. O vetor é autovetor de com autovalor :
Mas não é autovetor de :
Resposta
- Para qualquer , se for um autovetor de , então será um autovetor de ;