USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P2 - 2019, Questão 15.
15. Considere a base de e o operador linear tal que:
Assinale a alternativa correta:
(a) é diagonalizável e os autovalores de são , e ;
(b) não é diagonalizável e os autovalores de são , e ;
(c) não é diagonalizável e os autovalores de são e ;
(d) é diagonalizável e os autovalores de são e ;
(e) é diagonalizável e os autovalores de são , e .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, temos um operador linear dado na base como
E nosso objetivo é dizer se é diagonalizável e quais são seus autovalores...
E aí, tem ideia do que fazer? 👀
Um operador linear possui sempre os mesmos autovalores, independente da base, então para obter os autovalores de , fazemos .
E a partir do polinômio característico e dos autovalores encontrados, podemos dizer se é diagonalizável ou não.
Bora lá! 😊
Passo 2
Calculando o determinante, temos
E daqui, tiramos que as raízes desse polinômio, são
Ou seja, encontramos três autovalores para !
Sabemos que se o grau do polinômio característico for o mesmo número de autovalores, então quer dizer que a matriz é diagonalizável!
Portanto, vemos que a alternativa correta é a letra a)
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
(a) é diagonalizável e os autovalores de são , e ;