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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2019.1, P2, Q12

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se n for um inteiro positivo e A , B ∈ M n ( R ) forem matrizes com o mesmo determinante, então A e B serão semelhantes;
  2. Se V for um espaço vetorial tal que dim ⁡ V = 1777 , I :     V → V denotar a transformação identidade e T :     V → V for uma transformação linear tal que 55 e 99 sejam autovalores de T e tal que dim ⁡ K e r ( T - 55 I ) = 1776 , então T será diagonalizável;
  3. A matriz

77 43 0 0 77 43 0 0 77

É diagonalizável.

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas a afirmação ( I I ) é verdadeira;
  2. Todas as afirmações são verdadeiras;
  3. Apenas as afirmações I e ( I I ) são verdadeiras;
  4. Apenas as afirmações I I e ( I I I ) são verdadeiras;
  5. Apenas as afirmações I e ( I I I ) são verdadeiras;

Passo 1

Faaaala, pessoal! Nesse tipo de questão de assertivas o ideal é provar se verdadeiro e dar um contraexemplo em caso contrário. Veja:

  1. FALSA. Observe que A = 0 1 0 0 e B = 0 0 0 0 tem o mesmo determinante, mas não são semelhantes:

    2. M B M - 1 = 0 0 0 0 ≠ A

  2. VERDADEIRA. Seja { u 1 ,   … ,   u 1776 } uma base de K e r ( T - 55 I ) . Como 99 é autovalor de T , existe v ∈ V , v ≠ 0 , tal que T v = 99 v . Por teoria, temos que autovetores associados a autovalores distintos são L.I. entre si, logo U = { u 1 ,   … ,   u 1776 ,   v } é um conjunto de 1777 vetores L.I. em V de dimensão 1777. Assim, U é uma base de V formada por autovetores de T . De forma que T é diagonalizável;

    3. Passo 2

  3. FALSA. Observe que o polinômio característico da matriz é: p t = det ⁡ A - t I = 77 - t 3 , logo 77 é o único autovalor. Contudo:

A - 77 I = 0 43 0 0 0 43 0 0 0

Que possui exatamente 2 linhas L.I. Pelo teorema do posto-nulidade, temos:

p o s A - 77 I + dim ⁡ K e r ( A - 77 I ) = dim ⁡ R 3

⇒ 2 + dim ⁡ K e r ( A - 77 I ) = 3

⇒ dim ⁡ K e r ( A - 77 I ) = 1

De forma que teremos apenas um autovetor L.I. associado a 77 e não 3 como seria necessário para compor uma base de R 3 . Assim, a matriz não é diagonalizável.

Resposta

  1. Apenas a afirmação ( I I ) é verdadeira;

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